Precalcolo Esempi

$f (x) = 10 - | x |$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $10 - | x |$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- | x |]$ .

$\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- | x |]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- | x |]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- | x |]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- | x |$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [| x |]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [| x |]$

Passaggio 1.2.2

La derivata di $| x |$ rispetto a $x$ è $\frac{x}{| x |}$ .

$0 - \frac{x}{| x |}$

Passaggio 1.3

Sottrai $\frac{x}{| x |}$ da $0$ .

$- \frac{x}{| x |}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{x}{| x |}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{x}{| x |} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = | x |$ .

$f'' (x) = - \frac{| x | \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} | x |}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{| x | \cdot 1 - x \frac{d}{d x} | x |}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $| x |$ per $1$ .

$f'' (x) = - \frac{| x | - x \frac{d}{d x} | x |}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.4

La derivata di $| x |$ rispetto a $x$ è $\frac{x}{| x |}$ .

$f'' (x) = - \frac{| x | - x \frac{x}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.5

$\frac{x}{| x |}$ e $x$ .

$f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.8

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x^{1 + 1}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.9

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.10

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot 0$

Passaggio 2.11

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1

Moltiplica $\frac{x}{| x |}$ per $0$ .

$f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + 0$

Passaggio 2.11.2

Somma $- \frac{| x | - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Passaggio 2.12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.1.1

Per scrivere $| x |$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{| x |}{| x |}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x | | x |}{| x |} - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Passaggio 2.12.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x | | x | - x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Passaggio 2.12.1.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.1.3.1

Moltiplica $| x | | x |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.1.3.1.1

Per moltiplicare dei valori assoluti, moltiplica i termini all'interno di ciascun valore assoluto.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x \cdot x | - x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Passaggio 2.12.1.3.1.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x \cdot x | - x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Passaggio 2.12.1.3.1.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x \cdot x | - x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Passaggio 2.12.1.3.1.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x^{1 + 1} | - x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Passaggio 2.12.1.3.1.5

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x^{2} | - x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Passaggio 2.12.1.3.2

Rimuovi i termini non negativi dal valore assoluto.

$f'' (x) = - \frac{\frac{x^{2} - x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Passaggio 2.12.1.3.3

Sottrai $x^{2}$ da $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{0}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Passaggio 2.12.1.4

Dividi $0$ per $| x |$ .

$f'' (x) = - \frac{0}{{| x |}^{2}}$

Passaggio 2.12.2

Rimuovi il valore assoluto in ${| x |}^{2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$f'' (x) = - \frac{0}{x^{2}}$

Passaggio 2.12.3

Dividi $0$ per $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 0$

Passaggio 2.12.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f'' (x) = 0$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- \frac{x}{| x |} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $10 - | x |$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- | x |]$ .

$\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- | x |]$

Passaggio 4.1.1.2

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- | x |]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- | x |]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- | x |$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [| x |]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [| x |]$

Passaggio 4.1.2.2

La derivata di $| x |$ rispetto a $x$ è $\frac{x}{| x |}$ .

$0 - \frac{x}{| x |}$

Passaggio 4.1.3

Sottrai $\frac{x}{| x |}$ da $0$ .

$f' (x) = - \frac{x}{| x |}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{x}{| x |}$ .

$- \frac{x}{| x |}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{x}{| x |} = 0$ .

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Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{x}{| x |} = 0$

Passaggio 5.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$x = 0$

Passaggio 5.3

Escludi le soluzioni che non rendono $- \frac{x}{| x |} = 0$ vera.

$Nessuna soluzione$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta il denominatore in $\frac{x}{| x |}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$| x | = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$x = \pm 0$

Passaggio 6.2.2

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 0$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$0$

Passaggio 9

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 9.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 2$ , dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata prima $- \frac{x}{| x |}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f' (- 2) = - \frac{- 2}{| - 2 |}$

Passaggio 9.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $- 2$ e $0$ è $2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 2}{2}$

Passaggio 9.2.2.2

Dividi $- 2$ per $2$ .

$f' (- 2) = 1$

Passaggio 9.2.2.3

La risposta finale è $1$ .

$1$

Passaggio 9.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $2$ , dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata prima $- \frac{x}{| x |}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f' (2) = - \frac{2}{| 2 |}$

Passaggio 9.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$f' (2) = - \frac{2}{2}$

Passaggio 9.3.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$f' (2) = - \frac{2}{2}$

Passaggio 9.3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f' (2) = - 1 \cdot 1$

Passaggio 9.3.2.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (2) = - 1$

Passaggio 9.3.2.4

La risposta finale è $- 1$ .

$- 1$

Passaggio 9.4

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a $x = 0$ , allora $x = 0$ è un massimo locale.

$x = 0$ è un massimo locale

Passaggio 10