Precalcolo Esempi

$x^{2} - y^{2} = 81$

Passaggio 1

Sottrai $x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- y^{2} = 81 - x^{2}$

Passaggio 2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y^{2} = 81 - x^{2}$ e semplifica.

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Passaggio 2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y^{2} = 81 - x^{2}$ .

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{81}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{81}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Passaggio 2.2.2

Dividi $y^{2}$ per $1$ .

$y^{2} = \frac{81}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.3.1.1

Dividi $81$ per $- 1$ .

$y^{2} = - 81 + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Passaggio 2.3.1.2

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$y^{2} = - 81 + \frac{x^{2}}{1}$

Passaggio 2.3.1.3

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$y^{2} = - 81 + x^{2}$

Passaggio 3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{- 81 + x^{2}}$

Passaggio 4

Semplifica $\pm \sqrt{- 81 + x^{2}}$ .

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Passaggio 4.1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.1.1

Riscrivi $81$ come $9^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 9^{2} + x^{2}}$

Passaggio 4.1.2

Riordina $- 9^{2}$ e $x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{x^{2} - 9^{2}}$

Passaggio 4.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 9$ .

$y = \pm \sqrt{(x + 9) (x - 9)}$

Passaggio 5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \sqrt{(x + 9) (x - 9)}$

Passaggio 5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \sqrt{(x + 9) (x - 9)}$

Passaggio 5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \sqrt{(x + 9) (x - 9)}$

$y = - \sqrt{(x + 9) (x - 9)}$

$y = \sqrt{(x + 9) (x - 9)}$

$y = - \sqrt{(x + 9) (x - 9)}$

Passaggio 6

Imposta il radicando in $\sqrt{(x + 9) (x - 9)}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$(x + 9) (x - 9) \geq 0$

Passaggio 7

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 7.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 9 = 0$

$x - 9 = 0$

Passaggio 7.2

Imposta $x + 9$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 7.2.1

Imposta $x + 9$ uguale a $0$ .

$x + 9 = 0$

Passaggio 7.2.2

Sottrai $9$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 9$

Passaggio 7.3

Imposta $x - 9$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 7.3.1

Imposta $x - 9$ uguale a $0$ .

$x - 9 = 0$

Passaggio 7.3.2

Somma $9$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 9$

Passaggio 7.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 9) (x - 9) \geq 0$ vera.

$x = - 9, 9$

Passaggio 7.5

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 9$

$- 9 < x < 9$

$x > 9$

Passaggio 7.6

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 7.6.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 9$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 7.6.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 9$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 12$

Passaggio 7.6.1.2

Sostituisci $x$ con $- 12$ nella diseguaglianza originale.

$((- 12) + 9) ((- 12) - 9) \geq 0$

Passaggio 7.6.1.3

Il lato sinistro di $63$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 7.6.2

Testa un valore sull'intervallo $- 9 < x < 9$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 7.6.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 9 < x < 9$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 7.6.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$((0) + 9) ((0) - 9) \geq 0$

Passaggio 7.6.2.3

Il lato sinistro di $- 81$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 7.6.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 9$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 7.6.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 9$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 12$

Passaggio 7.6.3.2

Sostituisci $x$ con $12$ nella diseguaglianza originale.

$((12) + 9) ((12) - 9) \geq 0$

Passaggio 7.6.3.3

Il lato sinistro di $63$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 7.6.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 9$ Vero

$- 9 < x < 9$ Falso

$x > 9$ Vero

$x < - 9$ Vero

$- 9 < x < 9$ Falso

$x > 9$ Vero

Passaggio 7.7

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x \leq - 9$ o $x \geq 9$

Passaggio 8

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - 9] \cup [9, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \leq - 9, x \geq 9}$

Passaggio 9

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${y | y \in ℝ}$

Passaggio 10

Determina il dominio e l'intervallo.

Dominio: $(- \infty, - 9] \cup [9, \infty), {x | x \leq - 9, x \geq 9}$

Intervallo: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Passaggio 11