Precalcolo Esempi

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

Passaggio 1

Sottrai $\frac{x^{2}}{16}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{y^{2}}{4} = 1 - \frac{x^{2}}{16}$

Passaggio 2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $4$ .

$4 \frac{y^{2}}{4} = 4 (1 - \frac{x^{2}}{16})$

Passaggio 3

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$4 \frac{y^{2}}{4} = 4 (1 - \frac{x^{2}}{16})$

Passaggio 3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = 4 (1 - \frac{x^{2}}{16})$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica $4 (1 - \frac{x^{2}}{16})$ .

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Passaggio 3.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} = 4 \cdot 1 + 4 (- \frac{x^{2}}{16})$

Passaggio 3.2.1.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$y^{2} = 4 + 4 (- \frac{x^{2}}{16})$

Passaggio 3.2.1.3

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 3.2.1.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{x^{2}}{16}$ nel numeratore.

$y^{2} = 4 + 4 \frac{- x^{2}}{16}$

Passaggio 3.2.1.3.2

Scomponi $4$ da $16$ .

$y^{2} = 4 + 4 \frac{- x^{2}}{4 (4)}$

Passaggio 3.2.1.3.3

Elimina il fattore comune.

$y^{2} = 4 + 4 \frac{- x^{2}}{4 \cdot 4}$

Passaggio 3.2.1.3.4

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = 4 + \frac{- x^{2}}{4}$

Passaggio 3.2.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y^{2} = 4 - \frac{x^{2}}{4}$

Passaggio 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{4 - \frac{x^{2}}{4}}$

Passaggio 5

Semplifica $\pm \sqrt{4 - \frac{x^{2}}{4}}$ .

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Passaggio 5.1

Scrivi l'espressione usando gli esponenti.

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Passaggio 5.1.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{2^{2} - \frac{x^{2}}{4}}$

Passaggio 5.1.2

Riscrivi $\frac{x^{2}}{4}$ come ${(\frac{x}{2})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{2^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}$

Passaggio 5.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 2$ e $b = \frac{x}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{(2 + \frac{x}{2}) (2 - \frac{x}{2})}$

Passaggio 5.3

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{(2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{x}{2}) (2 - \frac{x}{2})}$

Passaggio 5.4

$2$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{x}{2}) (2 - \frac{x}{2})}$

Passaggio 5.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 \cdot 2 + x}{2} (2 - \frac{x}{2})}$

Passaggio 5.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} (2 - \frac{x}{2})}$

Passaggio 5.7

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{2})}$

Passaggio 5.8

$2$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{x}{2})}$

Passaggio 5.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} \cdot \frac{2 \cdot 2 - x}{2}}$

Passaggio 5.10

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} \cdot \frac{4 - x}{2}}$

Passaggio 5.11

Moltiplica $\frac{4 + x}{2}$ per $\frac{4 - x}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(4 + x) (4 - x)}{2 \cdot 2}}$

Passaggio 5.12

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(4 + x) (4 - x)}{4}}$

Passaggio 5.13

Riscrivi $\frac{(4 + x) (4 - x)}{4}$ come ${(\frac{1}{2})}^{2} ((4 + x) (4 - x))$ .

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Passaggio 5.13.1

Scomponi la potenza perfetta $1^{2}$ su $(4 + x) (4 - x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{4}}$

Passaggio 5.13.2

Scomponi la potenza perfetta $2^{2}$ su $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{2^{2} \cdot 1}}$

Passaggio 5.13.3

Riordina la frazione $\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((4 + x) (4 - x))}$

Passaggio 5.14

Estrai i termini dal radicale.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

Passaggio 5.15

$\frac{1}{2}$ e $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

Passaggio 6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 6.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

Passaggio 6.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

Passaggio 6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

Passaggio 7

Imposta il radicando in $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$(4 + x) (4 - x) \geq 0$

Passaggio 8

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 8.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$4 + x = 0$

$4 - x = 0$

Passaggio 8.2

Imposta $4 + x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 8.2.1

Imposta $4 + x$ uguale a $0$ .

$4 + x = 0$

Passaggio 8.2.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 4$

Passaggio 8.3

Imposta $4 - x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 8.3.1

Imposta $4 - x$ uguale a $0$ .

$4 - x = 0$

Passaggio 8.3.2

Risolvi $4 - x = 0$ per $x$ .

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Passaggio 8.3.2.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 4$

Passaggio 8.3.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 4$ e semplifica.

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Passaggio 8.3.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 4$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 8.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 8.3.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 8.3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.2.3.1

Dividi $- 4$ per $- 1$ .

$x = 4$

Passaggio 8.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(4 + x) (4 - x) \geq 0$ vera.

$x = - 4, 4$

Passaggio 8.5

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 4$

$- 4 < x < 4$

$x > 4$

Passaggio 8.6

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 8.6.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 6$

Passaggio 8.6.1.2

Sostituisci $x$ con $- 6$ nella diseguaglianza originale.

$(4 - 6) (4 - (- 6)) \geq 0$

Passaggio 8.6.1.3

Il lato sinistro di $- 20$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 8.6.2

Testa un valore sull'intervallo $- 4 < x < 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 4 < x < 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 8.6.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$(4 + 0) (4 - (0)) \geq 0$

Passaggio 8.6.2.3

Il lato sinistro di $16$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 8.6.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 6$

Passaggio 8.6.3.2

Sostituisci $x$ con $6$ nella diseguaglianza originale.

$(4 + 6) (4 - (6)) \geq 0$

Passaggio 8.6.3.3

Il lato sinistro di $- 20$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 8.6.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 4$ Falso

$- 4 < x < 4$ Vero

$x > 4$ Falso

$x < - 4$ Falso

$- 4 < x < 4$ Vero

$x > 4$ Falso

Passaggio 8.7

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$- 4 \leq x \leq 4$

Passaggio 9

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$[- 4, 4]$

Notazione intensiva:

${x | - 4 \leq x \leq 4}$

Passaggio 10

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$[- 2, 2]$

Notazione intensiva:

${y | - 2 \leq y \leq 2}$

Passaggio 11

Determina il dominio e l'intervallo.

Dominio: $[- 4, 4], {x | - 4 \leq x \leq 4}$

Intervallo: $[- 2, 2], {y | - 2 \leq y \leq 2}$

Passaggio 12