Precalcolo Esempi

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{16} = 1$

Passaggio 1

Somma $\frac{{(x - 1)}^{2}}{16}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = 1 + \frac{{(x - 1)}^{2}}{16}$

Passaggio 2

Semplifica $1 + \frac{{(x - 1)}^{2}}{16}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riduci in una frazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16}{16} + \frac{{(x - 1)}^{2}}{16}$

Passaggio 2.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16 + {(x - 1)}^{2}}{16}$

Passaggio 2.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Riscrivi ${(x - 1)}^{2}$ come $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16 + (x - 1) (x - 1)}{16}$

Passaggio 2.2.2

Espandi $(x - 1) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16 + x (x - 1) - 1 (x - 1)}{16}$

Passaggio 2.2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16 + x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)}{16}$

Passaggio 2.2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16 + x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}{16}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16 + x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}{16}$

Passaggio 2.2.3.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16 + x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1}{16}$

Passaggio 2.2.3.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16 + x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1}{16}$

Passaggio 2.2.3.1.4

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16 + x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1}{16}$

Passaggio 2.2.3.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16 + x^{2} - x - x + 1}{16}$

Passaggio 2.2.3.2

Sottrai $x$ da $- x$ .

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{16 + x^{2} - 2 x + 1}{16}$

Passaggio 2.2.4

Somma $16$ e $1$ .

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = \frac{x^{2} - 2 x + 17}{16}$

Passaggio 3

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $4$ .

$4 \frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = 4 \frac{x^{2} - 2 x + 17}{16}$

Passaggio 4

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$4 \frac{{(y + 5)}^{2}}{4} = 4 \frac{x^{2} - 2 x + 17}{16}$

Passaggio 4.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

${(y + 5)}^{2} = 4 \frac{x^{2} - 2 x + 17}{16}$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Scomponi $4$ da $16$ .

${(y + 5)}^{2} = 4 \frac{x^{2} - 2 x + 17}{4 (4)}$

Passaggio 4.2.1.2

Elimina il fattore comune.

${(y + 5)}^{2} = 4 \frac{x^{2} - 2 x + 17}{4 \cdot 4}$

Passaggio 4.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

${(y + 5)}^{2} = \frac{x^{2} - 2 x + 17}{4}$

Passaggio 5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y + 5 = \pm \sqrt{\frac{x^{2} - 2 x + 17}{4}}$

Passaggio 6

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{x^{2} - 2 x + 17}{4}}$ .

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Passaggio 6.1

Riscrivi $\frac{x^{2} - 2 x + 17}{4}$ come ${(\frac{1}{2})}^{2} (x^{2} - 2 x + 17)$ .

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Passaggio 6.1.1

Scomponi la potenza perfetta $1^{2}$ su $x^{2} - 2 x + 17$ .

$y + 5 = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} - 2 x + 17)}{4}}$

Passaggio 6.1.2

Scomponi la potenza perfetta $2^{2}$ su $4$ .

$y + 5 = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} - 2 x + 17)}{2^{2} \cdot 1}}$

Passaggio 6.1.3

Riordina la frazione $\frac{1^{2} (x^{2} - 2 x + 17)}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y + 5 = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (x^{2} - 2 x + 17)}$

Passaggio 6.2

Estrai i termini dal radicale.

$y + 5 = \pm \frac{1}{2} \sqrt{x^{2} - 2 x + 17}$

Passaggio 6.3

$\frac{1}{2}$ e $\sqrt{x^{2} - 2 x + 17}$ .

$y + 5 = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 17}}{2}$

Passaggio 7

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 7.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y + 5 = \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 17}}{2}$

Passaggio 7.2

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 17}}{2} - 5$

Passaggio 7.3

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y + 5 = - \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 17}}{2}$

Passaggio 7.4

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 17}}{2} - 5$

Passaggio 7.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 17}}{2} - 5$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 17}}{2} - 5$

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 17}}{2} - 5$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 17}}{2} - 5$

Passaggio 8

Imposta il radicando in $\sqrt{x^{2} - 2 x + 17}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x^{2} - 2 x + 17 \geq 0$

Passaggio 9

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 9.1

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$x^{2} - 2 x + 17 = 0$

Passaggio 9.2

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 9.3

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 2$ e $c = 17$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 17)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 9.4

Semplifica.

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Passaggio 9.4.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 9.4.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 9.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 17$ .

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Passaggio 9.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 9.4.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $17$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 68}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 9.4.1.3

Sottrai $68$ da $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 64}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 9.4.1.4

Riscrivi $- 64$ come $- 1 (64)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 9.4.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (64)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 9.4.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 9.4.1.7

Riscrivi $64$ come $8^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 9.4.1.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 8}{2 \cdot 1}$

Passaggio 9.4.1.9

Sposta $8$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{2 \pm 8 i}{2 \cdot 1}$

Passaggio 9.4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm 8 i}{2}$

Passaggio 9.4.3

Semplifica $\frac{2 \pm 8 i}{2}$ .

$x = 1 \pm 4 i$

Passaggio 9.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.5.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 9.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 17$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 9.5.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $17$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 68}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 9.5.1.3

Sottrai $68$ da $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 64}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 9.5.1.4

Riscrivi $- 64$ come $- 1 (64)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 9.5.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (64)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 9.5.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 9.5.1.7

Riscrivi $64$ come $8^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 9.5.1.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 8}{2 \cdot 1}$

Passaggio 9.5.1.9

Sposta $8$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{2 \pm 8 i}{2 \cdot 1}$

Passaggio 9.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm 8 i}{2}$

Passaggio 9.5.3

Semplifica $\frac{2 \pm 8 i}{2}$ .

$x = 1 \pm 4 i$

Passaggio 9.5.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = 1 + 4 i$

Passaggio 9.6

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

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Passaggio 9.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.6.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 9.6.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 17$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.6.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 9.6.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $17$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 68}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 9.6.1.3

Sottrai $68$ da $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 64}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 9.6.1.4

Riscrivi $- 64$ come $- 1 (64)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 9.6.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (64)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 9.6.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 9.6.1.7

Riscrivi $64$ come $8^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 9.6.1.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 8}{2 \cdot 1}$

Passaggio 9.6.1.9

Sposta $8$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{2 \pm 8 i}{2 \cdot 1}$

Passaggio 9.6.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm 8 i}{2}$

Passaggio 9.6.3

Semplifica $\frac{2 \pm 8 i}{2}$ .

$x = 1 \pm 4 i$

Passaggio 9.6.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = 1 - 4 i$

Passaggio 9.7

Identifica il coefficiente direttivo.

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Passaggio 9.7.1

Il termine con l'esponente maggiore in un polinomio è il termine con il grado più alto.

$x^{2}$

Passaggio 9.7.2

Il coefficiente direttivo in un polinomio è il coefficiente del termine con l'esponente maggiore.

$1$

Passaggio 9.8

Poiché non c'è nessuna reale intercetta di x e il coefficiente direttivo è positivo, la parabola si apre in alto e $x^{2} - 2 x + 17$ è sempre maggiore di $0$ .

Tutti i numeri reali

Passaggio 10

Il dominio è l'insieme di numeri reali.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 11

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - 7] \cup [- 3, \infty)$

Notazione intensiva:

${y | y \leq - 7, y \geq - 3}$

Passaggio 12

Determina il dominio e l'intervallo.

Dominio: $(- \infty, \infty), {x | x \in ℝ}$

Intervallo: $(- \infty, - 7] \cup [- 3, \infty), {y | y \leq - 7, y \geq - 3}$

Passaggio 13