Precalcolo Esempi

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{9} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = 1$

Passaggio 1

Sottrai $\frac{{(x + 4)}^{2}}{9}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = 1 - \frac{{(x + 4)}^{2}}{9}$

Passaggio 2

Semplifica $1 - \frac{{(x + 4)}^{2}}{9}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riduci in una frazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{9}{9} - \frac{{(x + 4)}^{2}}{9}$

Passaggio 2.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{9 - {(x + 4)}^{2}}{9}$

Passaggio 2.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{3^{2} - {(x + 4)}^{2}}{9}$

Passaggio 2.2.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 3$ e $b = x + 4$ .

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{(3 + x + 4) (3 - (x + 4))}{9}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Somma $3$ e $4$ .

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (3 - (x + 4))}{9}$

Passaggio 2.2.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (3 - x - 1 \cdot 4)}{9}$

Passaggio 2.2.3.3

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (3 - x - 4)}{9}$

Passaggio 2.2.3.4

Sottrai $4$ da $3$ .

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (- x - 1)}{9}$

Passaggio 2.3

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (- (x) - 1)}{9}$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (- (x) - 1 (1))}{9}$

Passaggio 2.3.3

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (1)$ .

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (- (x + 1))}{9}$

Passaggio 2.3.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Riscrivi $- (x + 1)$ come $- 1 (x + 1)$ .

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (- 1 (x + 1))}{9}$

Passaggio 2.3.4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = - \frac{(x + 7) (x + 1)}{9}$

Passaggio 3

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $- 16$ .

$- 16 (- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16}) = - 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$

Passaggio 4

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Semplifica $- 16 (- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Elimina il fattore comune di $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{{(y - 1)}^{2}}{16}$ nel numeratore.

$- 16 \frac{- {(y - 1)}^{2}}{16} = - 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$

Passaggio 4.1.1.1.2

Scomponi $16$ da $- 16$ .

$16 (- 1) \frac{- {(y - 1)}^{2}}{16} = - 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$

Passaggio 4.1.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$16 \cdot - 1 \frac{- {(y - 1)}^{2}}{16} = - 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$

Passaggio 4.1.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$- - {(y - 1)}^{2} = - 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$

Passaggio 4.1.1.2

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 {(y - 1)}^{2} = - 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$

Passaggio 4.1.1.2.2

Moltiplica ${(y - 1)}^{2}$ per $1$ .

${(y - 1)}^{2} = - 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Moltiplica $- 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 16$ .

${(y - 1)}^{2} = 16 \frac{(x + 7) (x + 1)}{9}$

Passaggio 4.2.1.2

$16$ e $\frac{(x + 7) (x + 1)}{9}$ .

${(y - 1)}^{2} = \frac{16 ((x + 7) (x + 1))}{9}$

${(y - 1)}^{2} = \frac{16 (x + 7) (x + 1)}{9}$

Passaggio 5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y - 1 = \pm \sqrt{\frac{16 (x + 7) (x + 1)}{9}}$

Passaggio 6

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{16 (x + 7) (x + 1)}{9}}$ .

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Passaggio 6.1

Riscrivi $\frac{16 (x + 7) (x + 1)}{9}$ come ${(\frac{2^{2}}{3})}^{2} ((x + 7) (x + 1))$ .

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Passaggio 6.1.1

Scomponi la potenza perfetta ${(2^{2})}^{2}$ su $16 (x + 7) (x + 1)$ .

$y - 1 = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} ((x + 7) (x + 1))}{9}}$

Passaggio 6.1.2

Scomponi la potenza perfetta $3^{2}$ su $9$ .

$y - 1 = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} ((x + 7) (x + 1))}{3^{2} \cdot 1}}$

Passaggio 6.1.3

Riordina la frazione $\frac{{(2^{2})}^{2} ((x + 7) (x + 1))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$y - 1 = \pm \sqrt{{(\frac{2^{2}}{3})}^{2} ((x + 7) (x + 1))}$

Passaggio 6.2

Estrai i termini dal radicale.

$y - 1 = \pm \frac{2^{2}}{3} \sqrt{(x + 7) (x + 1)}$

Passaggio 6.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$y - 1 = \pm \frac{4}{3} \sqrt{(x + 7) (x + 1)}$

Passaggio 6.4

$\frac{4}{3}$ e $\sqrt{(x + 7) (x + 1)}$ .

$y - 1 = \pm \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3}$

Passaggio 7

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 7.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y - 1 = \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3}$

Passaggio 7.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3} + 1$

Passaggio 7.3

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y - 1 = - \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3}$

Passaggio 7.4

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = - \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3} + 1$

Passaggio 7.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3} + 1$

$y = - \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3} + 1$

$y = \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3} + 1$

$y = - \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3} + 1$

Passaggio 8

Imposta il radicando in $\sqrt{(x + 7) (x + 1)}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$(x + 7) (x + 1) \geq 0$

Passaggio 9

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 9.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 7 = 0$

$x + 1 = 0$

Passaggio 9.2

Imposta $x + 7$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 9.2.1

Imposta $x + 7$ uguale a $0$ .

$x + 7 = 0$

Passaggio 9.2.2

Sottrai $7$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 7$

Passaggio 9.3

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 9.3.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 9.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 7) (x + 1) \geq 0$ vera.

$x = - 7, - 1$

Passaggio 9.5

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 7$

$- 7 < x < - 1$

$x > - 1$

Passaggio 9.6

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 9.6.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 7$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.6.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 7$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 10$

Passaggio 9.6.1.2

Sostituisci $x$ con $- 10$ nella diseguaglianza originale.

$((- 10) + 7) ((- 10) + 1) \geq 0$

Passaggio 9.6.1.3

Il lato sinistro di $27$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 9.6.2

Testa un valore sull'intervallo $- 7 < x < - 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.6.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 7 < x < - 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 4$

Passaggio 9.6.2.2

Sostituisci $x$ con $- 4$ nella diseguaglianza originale.

$((- 4) + 7) ((- 4) + 1) \geq 0$

Passaggio 9.6.2.3

Il lato sinistro di $- 9$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 9.6.3

Testa un valore sull'intervallo $x > - 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 9.6.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > - 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 9.6.3.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$((0) + 7) ((0) + 1) \geq 0$

Passaggio 9.6.3.3

Il lato sinistro di $7$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 9.6.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 7$ Vero

$- 7 < x < - 1$ Falso

$x > - 1$ Vero

$x < - 7$ Vero

$- 7 < x < - 1$ Falso

$x > - 1$ Vero

Passaggio 9.7

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x \leq - 7$ o $x \geq - 1$

Passaggio 10

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - 7] \cup [- 1, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \leq - 7, x \geq - 1}$

Passaggio 11

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${y | y \in ℝ}$

Passaggio 12

Determina il dominio e l'intervallo.

Dominio: $(- \infty, - 7] \cup [- 1, \infty), {x | x \leq - 7, x \geq - 1}$

Intervallo: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Passaggio 13