Precalcolo Esempi

$f (x) = x^{4} - 3 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 8$

Passaggio 1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1$

Passaggio 2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

Passaggio 3

Nel polinomio, sostituisci le possibili radici una alla volta per trovare le radici effettive. Semplifica per verificare se il valore è $0$ ; ciò significa che è una radice.

${(- 1)}^{4} - 3 {(- 1)}^{3} - 6 {(- 1)}^{2} + 6 (- 1) + 8$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ , quindi $x = - 1$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$1 - 3 {(- 1)}^{3} - 6 {(- 1)}^{2} + 6 (- 1) + 8$

Passaggio 4.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$1 - 3 \cdot - 1 - 6 {(- 1)}^{2} + 6 (- 1) + 8$

Passaggio 4.1.3

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$1 + 3 - 6 {(- 1)}^{2} + 6 (- 1) + 8$

Passaggio 4.1.4

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$1 + 3 - 6 \cdot 1 + 6 (- 1) + 8$

Passaggio 4.1.5

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$1 + 3 - 6 + 6 (- 1) + 8$

Passaggio 4.1.6

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$1 + 3 - 6 - 6 + 8$

Passaggio 4.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 4.2.1

Somma $1$ e $3$ .

$4 - 6 - 6 + 8$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $6$ da $4$ .

$- 2 - 6 + 8$

Passaggio 4.2.3

Sottrai $6$ da $- 2$ .

$- 8 + 8$

Passaggio 4.2.4

Somma $- 8$ e $8$ .

$0$

Passaggio 5

Poiché $- 1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può essere utilizzato per trovare le restanti radici.

$\frac{x^{4} - 3 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 8}{x + 1}$

Passaggio 6

Ora, trova le radici del polinomio rimanente. L'ordine del polinomio è stato ridotto di $1$ .

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Passaggio 6.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$

Passaggio 6.2

Il primo numero nel dividendo $(1)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$

	$1$

Passaggio 6.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(1)$ per il divisore $(- 1)$ e posiziona il risultato di $(- 1)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 3)$ .

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$
	$1$

Passaggio 6.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$
	$1$	$- 4$

Passaggio 6.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 4)$ per il divisore $(- 1)$ e posiziona il risultato di $(4)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 6)$ .

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$	$4$
	$1$	$- 4$

Passaggio 6.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$	$4$
	$1$	$- 4$	$- 2$

Passaggio 6.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 2)$ per il divisore $(- 1)$ e posiziona il risultato di $(2)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(6)$ .

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$	$4$	$2$
	$1$	$- 4$	$- 2$

Passaggio 6.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$	$4$	$2$
	$1$	$- 4$	$- 2$	$8$

Passaggio 6.9

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(8)$ per il divisore $(- 1)$ e posiziona il risultato di $(- 8)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(8)$ .

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$	$4$	$2$	$- 8$
	$1$	$- 4$	$- 2$	$8$

Passaggio 6.10

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 1$	$1$	$- 3$	$- 6$	$6$	$8$
		$- 1$	$4$	$2$	$- 8$
	$1$	$- 4$	$- 2$	$8$	$0$

Passaggio 6.11

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$1 x^{3} + - 4 x^{2} + (- 2) x + 8$

Passaggio 6.12

Semplifica il polinomio quoziente.

$x^{3} - 4 x^{2} - 2 x + 8$

Passaggio 7

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 7.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(x + 1) (x^{3} - 4 x^{2}) - 2 x + 8$

Passaggio 7.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(x + 1) + x^{2} (x - 4) - 2 (x - 4)$

$(x + 1) x^{2} (x - 4) - 2 (x - 4)$

Passaggio 8

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x - 4$ .

$(x + 1) (x - 4) (x^{2} - 2)$

Passaggio 9

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 9.1

Raggruppa i termini.

$- 3 x^{3} + 6 x + x^{4} - 6 x^{2} + 8 = 0$

Passaggio 9.2

Scomponi $- 3 x$ da $- 3 x^{3} + 6 x$ .

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Passaggio 9.2.1

Scomponi $- 3 x$ da $- 3 x^{3}$ .

$- 3 x \cdot x^{2} + 6 x + x^{4} - 6 x^{2} + 8 = 0$

Passaggio 9.2.2

Scomponi $- 3 x$ da $6 x$ .

$- 3 x \cdot x^{2} - 3 x \cdot - 2 + x^{4} - 6 x^{2} + 8 = 0$

Passaggio 9.2.3

Scomponi $- 3 x$ da $- 3 x (x^{2}) - 3 x (- 2)$ .

$- 3 x (x^{2} - 2) + x^{4} - 6 x^{2} + 8 = 0$

Passaggio 9.3

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 3 x (x^{2} - 2) + {(x^{2})}^{2} - 6 x^{2} + 8 = 0$

Passaggio 9.4

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$- 3 x (x^{2} - 2) + u^{2} - 6 u + 8 = 0$

Passaggio 9.5

Scomponi $u^{2} - 6 u + 8$ usando il metodo AC.

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Passaggio 9.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $8$ e la cui somma è $- 6$ .

$- 4, - 2$

Passaggio 9.5.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$- 3 x (x^{2} - 2) + (u - 4) (u - 2) = 0$

Passaggio 9.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$- 3 x (x^{2} - 2) + (x^{2} - 4) (x^{2} - 2) = 0$

Passaggio 9.7

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$- 3 x (x^{2} - 2) + (x^{2} - 2^{2}) (x^{2} - 2) = 0$

Passaggio 9.8

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$- 3 x (x^{2} - 2) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 2) = 0$

Passaggio 9.9

Scomponi $x^{2} - 2$ da $- 3 x (x^{2} - 2) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 2)$ .

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Passaggio 9.9.1

Scomponi $x^{2} - 2$ da $- 3 x (x^{2} - 2)$ .

$(x^{2} - 2) (- 3 x) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 2) = 0$

Passaggio 9.9.2

Scomponi $x^{2} - 2$ da $(x + 2) (x - 2) (x^{2} - 2)$ .

$(x^{2} - 2) (- 3 x) + (x^{2} - 2) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Passaggio 9.9.3

Scomponi $x^{2} - 2$ da $(x^{2} - 2) (- 3 x) + (x^{2} - 2) ((x + 2) (x - 2))$ .

$(x^{2} - 2) (- 3 x + (x + 2) (x - 2)) = 0$

Passaggio 9.10

Espandi $(x + 2) (x - 2)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 9.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x (x - 2) + 2 (x - 2)) = 0$

Passaggio 9.10.2

Applica la proprietà distributiva.

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2)) = 0$

Passaggio 9.10.3

Applica la proprietà distributiva.

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2) = 0$

Passaggio 9.11

Combina i termini opposti in $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

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Passaggio 9.11.1

Riordina i fattori nei termini di $x \cdot - 2$ e $2 x$ .

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2) = 0$

Passaggio 9.11.2

Somma $- 2 x$ e $2 x$ .

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2) = 0$

Passaggio 9.11.3

Somma $x \cdot x$ e $0$ .

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x \cdot x + 2 \cdot - 2) = 0$

Passaggio 9.12

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 9.12.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x^{2} + 2 \cdot - 2) = 0$

Passaggio 9.12.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$(x^{2} - 2) (- 3 x + x^{2} - 4) = 0$

Passaggio 9.13

Riordina i termini.

$(x^{2} - 2) (x^{2} - 3 x - 4) = 0$

Passaggio 9.14

Scomponi.

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Passaggio 9.14.1

Scomponi $x^{2} - 3 x - 4$ usando il metodo AC.

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Passaggio 9.14.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 4$ e la cui somma è $- 3$ .

$- 4, 1$

Passaggio 9.14.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x^{2} - 2) ((x - 4) (x + 1)) = 0$

Passaggio 9.14.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x^{2} - 2) (x - 4) (x + 1) = 0$

Passaggio 10

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

$x - 4 = 0$

$x + 1 = 0$

Passaggio 11

Imposta $x^{2} - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 11.1

Imposta $x^{2} - 2$ uguale a $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Passaggio 11.2

Risolvi $x^{2} - 2 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 11.2.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 2$

Passaggio 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Passaggio 11.2.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 11.2.3.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt{2}$

Passaggio 11.2.3.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt{2}$

Passaggio 11.2.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Passaggio 12

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 12.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 12.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 13

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 13.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 13.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 14

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x^{2} - 2) (x - 4) (x + 1) = 0$ vera.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, 4, - 1$

Passaggio 15

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, 4, - 1$

Forma decimale:

$x = 1.41421356 \dots, - 1.41421356 \dots, 4, - 1$

Passaggio 16