Precalcolo Esempi

$f (x) = 9 x^{3} - 21 x^{2} + 4 x + 4$

Passaggio 1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 3, \pm 9$

Passaggio 2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{9}, \pm 2, \pm \frac{2}{3}, \pm \frac{2}{9}, \pm 4, \pm \frac{4}{3}, \pm \frac{4}{9}$

Passaggio 3

Nel polinomio, sostituisci le possibili radici una alla volta per trovare le radici effettive. Semplifica per verificare se il valore è $0$ ; ciò significa che è una radice.

$9 {(2)}^{3} - 21 {(2)}^{2} + 4 (2) + 4$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ , quindi $x = 2$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$9 \cdot 8 - 21 {(2)}^{2} + 4 (2) + 4$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $9$ per $8$ .

$72 - 21 {(2)}^{2} + 4 (2) + 4$

Passaggio 4.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$72 - 21 \cdot 4 + 4 (2) + 4$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $- 21$ per $4$ .

$72 - 84 + 4 (2) + 4$

Passaggio 4.1.5

Moltiplica $4$ per $2$ .

$72 - 84 + 8 + 4$

Passaggio 4.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sottrai $84$ da $72$ .

$- 12 + 8 + 4$

Passaggio 4.2.2

Somma $- 12$ e $8$ .

$- 4 + 4$

Passaggio 4.2.3

Somma $- 4$ e $4$ .

$0$

Passaggio 5

Poiché $2$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 2$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può essere utilizzato per trovare le restanti radici.

$\frac{9 x^{3} - 21 x^{2} + 4 x + 4}{x - 2}$

Passaggio 6

Ora, trova le radici del polinomio rimanente. L'ordine del polinomio è stato ridotto di $1$ .

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Passaggio 6.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$2$	$9$	$- 21$	$4$	$4$

Passaggio 6.2

Il primo numero nel dividendo $(9)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$2$	$9$	$- 21$	$4$	$4$

	$9$

Passaggio 6.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(9)$ per il divisore $(2)$ e posiziona il risultato di $(18)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 21)$ .

$2$	$9$	$- 21$	$4$	$4$
		$18$
	$9$

Passaggio 6.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$2$	$9$	$- 21$	$4$	$4$
		$18$
	$9$	$- 3$

Passaggio 6.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 3)$ per il divisore $(2)$ e posiziona il risultato di $(- 6)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(4)$ .

$2$	$9$	$- 21$	$4$	$4$
		$18$	$- 6$
	$9$	$- 3$

Passaggio 6.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$2$	$9$	$- 21$	$4$	$4$
		$18$	$- 6$
	$9$	$- 3$	$- 2$

Passaggio 6.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 2)$ per il divisore $(2)$ e posiziona il risultato di $(- 4)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(4)$ .

$2$	$9$	$- 21$	$4$	$4$
		$18$	$- 6$	$- 4$
	$9$	$- 3$	$- 2$

Passaggio 6.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$2$	$9$	$- 21$	$4$	$4$
		$18$	$- 6$	$- 4$
	$9$	$- 3$	$- 2$	$0$

Passaggio 6.9

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$9 x^{2} + - 3 x - 2$

Passaggio 6.10

Semplifica il polinomio quoziente.

$9 x^{2} - 3 x - 2$

Passaggio 7

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 7.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 9 \cdot - 2 = - 18$ e la cui somma è $b = - 3$ .

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Passaggio 7.1.1

Scomponi $- 3$ da $- 3 x$ .

$(x - 2) + 9 x^{2} - 3 x - 2$

Passaggio 7.1.2

Riscrivi $- 3$ come $3$ più $- 6$ .

$(x - 2) + 9 x^{2} + (3 - 6) x - 2$

Passaggio 7.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$(x - 2) + 9 x^{2} + 3 x - 6 x - 2$

Passaggio 7.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 7.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(x - 2) (9 x^{2} + 3 x) - 6 x - 2$

Passaggio 7.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(x - 2) + 3 x (3 x + 1) - 2 (3 x + 1)$

Passaggio 7.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $3 x + 1$ .

$(x - 2) + (3 x + 1) (3 x - 2)$

$(x - 2) (3 x + 1) (3 x - 2)$

Passaggio 8

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 8.1

Scomponi $9 x^{3} - 21 x^{2} + 4 x + 4$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 8.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 9, \pm 3$

Passaggio 8.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.\overline{1}, \pm 0.\overline{3}, \pm 4, \pm 0.\overline{4}, \pm 1.\overline{3}, \pm 2, \pm 0.\overline{2}, \pm 0.\overline{6}$

Passaggio 8.1.3

Sostituisci $- 0.\overline{3}$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 0.\overline{3}$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 8.1.3.1

Sostituisci $- 0.\overline{3}$ nel polinomio.

$9 {(- 0.\overline{3})}^{3} - 21 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 4 \cdot - 0.\overline{3} + 4$

Passaggio 8.1.3.2

Eleva $- 0.\overline{3}$ alla potenza di $3$ .

$9 \cdot - 0.\overline{037} - 21 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 4 \cdot - 0.\overline{3} + 4$

Passaggio 8.1.3.3

Moltiplica $9$ per $- 0.\overline{037}$ .

$- 0.\overline{3} - 21 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 4 \cdot - 0.\overline{3} + 4$

Passaggio 8.1.3.4

Eleva $- 0.\overline{3}$ alla potenza di $2$ .

$- 0.\overline{3} - 21 \cdot 0.\overline{1} + 4 \cdot - 0.\overline{3} + 4$

Passaggio 8.1.3.5

Moltiplica $- 21$ per $0.\overline{1}$ .

$- 0.\overline{3} - 2.\overline{3} + 4 \cdot - 0.\overline{3} + 4$

Passaggio 8.1.3.6

Sottrai $2.\overline{3}$ da $- 0.\overline{3}$ .

$- 2.\overline{6} + 4 \cdot - 0.\overline{3} + 4$

Passaggio 8.1.3.7

Moltiplica $4$ per $- 0.\overline{3}$ .

$- 2.\overline{6} - 1.\overline{3} + 4$

Passaggio 8.1.3.8

Sottrai $1.\overline{3}$ da $- 2.\overline{6}$ .

$- 4 + 4$

Passaggio 8.1.3.9

Somma $- 4$ e $4$ .

$0$

Passaggio 8.1.4

Poiché $- 0.\overline{3}$ è una radice nota, dividi il polinomio per $3 x + 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{9 x^{3} - 21 x^{2} + 4 x + 4}{3 x + 1}$

Passaggio 8.1.5

Dividi $9 x^{3} - 21 x^{2} + 4 x + 4$ per $3 x + 1$ .

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Passaggio 8.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$3 x$

$1$

$9 x^{3}$

$21 x^{2}$

$4 x$

$4$

Passaggio 8.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $9 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $3 x$ .

					$3 x^{2}$
	$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$4 x$	+	$4$

Passaggio 8.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$3 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$4 x$	+	$4$
			+	$9 x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Passaggio 8.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $9 x^{3} + 3 x^{2}$

				$3 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$4 x$	+	$4$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Passaggio 8.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$3 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$4 x$	+	$4$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$

Passaggio 8.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$3 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$4 x$	+	$4$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$4 x$

Passaggio 8.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 24 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $3 x$ .

				$3 x^{2}$	-	$8 x$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$4 x$	+	$4$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$4 x$

Passaggio 8.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$3 x^{2}$	-	$8 x$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$4 x$	+	$4$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$24 x^{2}$	-	$8 x$

Passaggio 8.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 24 x^{2} - 8 x$

				$3 x^{2}$	-	$8 x$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$4 x$	+	$4$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$4 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$

Passaggio 8.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$3 x^{2}$	-	$8 x$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$4 x$	+	$4$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$4 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$12 x$

Passaggio 8.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$3 x^{2}$	-	$8 x$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$4 x$	+	$4$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$4 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$12 x$	+	$4$

Passaggio 8.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $12 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $3 x$ .

				$3 x^{2}$	-	$8 x$	+	$4$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$4 x$	+	$4$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$4 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$12 x$	+	$4$

Passaggio 8.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$3 x^{2}$	-	$8 x$	+	$4$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$4 x$	+	$4$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$4 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$12 x$	+	$4$
							+	$12 x$	+	$4$

Passaggio 8.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $12 x + 4$

				$3 x^{2}$	-	$8 x$	+	$4$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$4 x$	+	$4$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$4 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$12 x$	+	$4$
							-	$12 x$	-	$4$

Passaggio 8.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$3 x^{2}$	-	$8 x$	+	$4$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$21 x^{2}$	+	$4 x$	+	$4$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$24 x^{2}$	+	$4 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$12 x$	+	$4$
							-	$12 x$	-	$4$
										$0$

Passaggio 8.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$3 x^{2} - 8 x + 4$

Passaggio 8.1.6

Scrivi $9 x^{3} - 21 x^{2} + 4 x + 4$ come insieme di fattori.

$(3 x + 1) (3 x^{2} - 8 x + 4) = 0$

Passaggio 8.2

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 3 \cdot 4 = 12$ e la cui somma è $b = - 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1.1

Scomponi $- 8$ da $- 8 x$ .

$(3 x + 1) (3 x^{2} - 8 x + 4) = 0$

Passaggio 8.2.1.1.2

Riscrivi $- 8$ come $- 2$ più $- 6$ .

$(3 x + 1) (3 x^{2} + (- 2 - 6) x + 4) = 0$

Passaggio 8.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$(3 x + 1) (3 x^{2} - 2 x - 6 x + 4) = 0$

Passaggio 8.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(3 x + 1) ((3 x^{2} - 2 x) - 6 x + 4) = 0$

Passaggio 8.2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(3 x + 1) (x (3 x - 2) - 2 (3 x - 2)) = 0$

Passaggio 8.2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $3 x - 2$ .

$(3 x + 1) ((3 x - 2) (x - 2)) = 0$

Passaggio 8.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(3 x + 1) (3 x - 2) (x - 2) = 0$

Passaggio 9

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$3 x + 1 = 0$

$3 x - 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Passaggio 10

Imposta $3 x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Imposta $3 x + 1$ uguale a $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Passaggio 10.2

Risolvi $3 x + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = - 1$

Passaggio 10.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 1$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Passaggio 10.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Passaggio 10.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Passaggio 10.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1}{3}$

Passaggio 11

Imposta $3 x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Imposta $3 x - 2$ uguale a $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Passaggio 11.2

Risolvi $3 x - 2 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = 2$

Passaggio 11.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 2$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Passaggio 11.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Passaggio 11.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Passaggio 12

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 12.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 13

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(3 x + 1) (3 x - 2) (x - 2) = 0$ vera.

$x = - \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, 2$

Passaggio 14