Precalcolo Esempi

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 14 \\ c = \\ a = & 12 \end{matrix} & \begin{matrix} A = & 55 \\ B = \\ C = \end{matrix} \end{matrix}$

Passaggio 1

Il teorema dei seni produce un risultato ambiguo per l'angolo. Ciò significa che ci sono $2$ angoli che risolvono correttamente l'equazione. Per il primo triangolo, utilizza il valore del primo angolo possibile.

Risolvi per il primo triangolo.

Passaggio 2

Il teorema dei seni si basa sulla proporzionalità dei lati e degli angoli nei triangoli. Secondo il teorema, per gli angoli di un triangolo non rettangolo, il rapporto tra un lato e il seno dell'angolo opposto resta costante.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Passaggio 3

Sostituisci i valori noti nel teorema dei seni per trovare $B$ .

$\frac{\sin (B)}{14} = \frac{\sin (55)}{12}$

Passaggio 4

Risolvi l'equazione per $B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $14$ .

$14 \frac{\sin (B)}{14} = 14 \frac{\sin (55)}{12}$

Passaggio 4.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Elimina il fattore comune di $14$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$14 \frac{\sin (B)}{14} = 14 \frac{\sin (55)}{12}$

Passaggio 4.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\sin (B) = 14 \frac{\sin (55)}{12}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica $14 \frac{\sin (55)}{12}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1.1

Scomponi $2$ da $14$ .

$\sin (B) = 2 (7) \frac{\sin (55)}{12}$

Passaggio 4.2.2.1.1.2

Scomponi $2$ da $12$ .

$\sin (B) = 2 \cdot 7 \frac{\sin (55)}{2 \cdot 6}$

Passaggio 4.2.2.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$\sin (B) = 2 \cdot 7 \frac{\sin (55)}{2 \cdot 6}$

Passaggio 4.2.2.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$\sin (B) = 7 \frac{\sin (55)}{6}$

Passaggio 4.2.2.1.2

$7$ e $\frac{\sin (55)}{6}$ .

$\sin (B) = \frac{7 \sin (55)}{6}$

Passaggio 4.2.2.1.3

Calcola $\sin (55)$ .

$\sin (B) = \frac{7 \cdot 0.81915204}{6}$

Passaggio 4.2.2.1.4

Moltiplica $7$ per $0.81915204$ .

$\sin (B) = \frac{5.73406431}{6}$

Passaggio 4.2.2.1.5

Dividi $5.73406431$ per $6$ .

$\sin (B) = 0.95567738$

Passaggio 4.3

Trova il valore dell'incognita $B$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$B = \arcsin (0.95567738)$

Passaggio 4.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Calcola $\arcsin (0.95567738)$ .

$B = 72.87748312$

Passaggio 4.5

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $180$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$B = 180 - 72.87748312$

Passaggio 4.6

Sottrai $72.87748312$ da $180$ .

$B = 107.12251687$

Passaggio 4.7

La soluzione dell'equazione $B = 72.87748312$ .

$B = 72.87748312, 107.12251687$

Passaggio 5

La somma di tutti gli angoli di un triangolo è $180$ gradi.

$55 + C + 72.87748312 = 180$

Passaggio 6

Risolvi l'equazione per $C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Somma $55$ e $72.87748312$ .

$C + 127.87748312 = 180$

Passaggio 6.2

Sposta tutti i termini non contenenti $C$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sottrai $127.87748312$ da entrambi i lati dell'equazione.

$C = 180 - 127.87748312$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $127.87748312$ da $180$ .

$C = 52.12251687$

Passaggio 7

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Passaggio 8

Sostituisci i valori noti nel teorema dei seni per trovare $c$ .

$\frac{\sin (52.12251687)}{c} = \frac{\sin (55)}{12}$

Passaggio 9

Risolvi l'equazione per $c$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Scomponi ogni termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Calcola $\sin (52.12251687)$ .

$\frac{0.78932543}{c} = \frac{\sin (55)}{12}$

Passaggio 9.1.2

Calcola $\sin (55)$ .

$\frac{0.78932543}{c} = \frac{0.81915204}{12}$

Passaggio 9.1.3

Dividi $0.81915204$ per $12$ .

$\frac{0.78932543}{c} = 0.06826267$

Passaggio 9.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$c, 1$

Passaggio 9.2.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$c$

Passaggio 9.3

Moltiplica per $c$ ciascun termine in $\frac{0.78932543}{c} = 0.06826267$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{0.78932543}{c} = 0.06826267$ per $c$ .

$\frac{0.78932543}{c} c = 0.06826267 c$

Passaggio 9.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.1

Elimina il fattore comune di $c$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{0.78932543}{c} c = 0.06826267 c$

Passaggio 9.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$0.78932543 = 0.06826267 c$

Passaggio 9.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.1

Riscrivi l'equazione come $0.06826267 c = 0.78932543$ .

$0.06826267 c = 0.78932543$

Passaggio 9.4.2

Dividi per $0.06826267$ ciascun termine in $0.06826267 c = 0.78932543$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.2.1

Dividi per $0.06826267$ ciascun termine in $0.06826267 c = 0.78932543$ .

$\frac{0.06826267 c}{0.06826267} = \frac{0.78932543}{0.06826267}$

Passaggio 9.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $0.06826267$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{0.06826267 c}{0.06826267} = \frac{0.78932543}{0.06826267}$

Passaggio 9.4.2.2.1.2

Dividi $c$ per $1$ .

$c = \frac{0.78932543}{0.06826267}$

Passaggio 9.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.2.3.1

Dividi $0.78932543$ per $0.06826267$ .

$c = 11.56306118$

Passaggio 10

Per il secondo triangolo, utilizza il valore del secondo angolo possibile.

Risolvi per il secondo triangolo.

Passaggio 11

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Passaggio 12

Sostituisci i valori noti nel teorema dei seni per trovare $B$ .

$\frac{\sin (B)}{14} = \frac{\sin (55)}{12}$

Passaggio 13

Risolvi l'equazione per $B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $14$ .

$14 \frac{\sin (B)}{14} = 14 \frac{\sin (55)}{12}$

Passaggio 13.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.1

Elimina il fattore comune di $14$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$14 \frac{\sin (B)}{14} = 14 \frac{\sin (55)}{12}$

Passaggio 13.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\sin (B) = 14 \frac{\sin (55)}{12}$

Passaggio 13.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.2.1

Semplifica $14 \frac{\sin (55)}{12}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.2.1.1.1

Scomponi $2$ da $14$ .

$\sin (B) = 2 (7) \frac{\sin (55)}{12}$

Passaggio 13.2.2.1.1.2

Scomponi $2$ da $12$ .

$\sin (B) = 2 \cdot 7 \frac{\sin (55)}{2 \cdot 6}$

Passaggio 13.2.2.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$\sin (B) = 2 \cdot 7 \frac{\sin (55)}{2 \cdot 6}$

Passaggio 13.2.2.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$\sin (B) = 7 \frac{\sin (55)}{6}$

Passaggio 13.2.2.1.2

$7$ e $\frac{\sin (55)}{6}$ .

$\sin (B) = \frac{7 \sin (55)}{6}$

Passaggio 13.2.2.1.3

Calcola $\sin (55)$ .

$\sin (B) = \frac{7 \cdot 0.81915204}{6}$

Passaggio 13.2.2.1.4

Moltiplica $7$ per $0.81915204$ .

$\sin (B) = \frac{5.73406431}{6}$

Passaggio 13.2.2.1.5

Dividi $5.73406431$ per $6$ .

$\sin (B) = 0.95567738$

Passaggio 13.3

Trova il valore dell'incognita $B$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$B = \arcsin (0.95567738)$

Passaggio 13.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.1

Calcola $\arcsin (0.95567738)$ .

$B = 72.87748312$

Passaggio 13.5

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $180$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$B = 180 - 72.87748312$

Passaggio 13.6

Sottrai $72.87748312$ da $180$ .

$B = 107.12251687$

Passaggio 13.7

La soluzione dell'equazione $B = 72.87748312$ .

$B = 72.87748312, 107.12251687$

Passaggio 14

La somma di tutti gli angoli di un triangolo è $180$ gradi.

$55 + C + 107.12251687 = 180$

Passaggio 15

Risolvi l'equazione per $C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Somma $55$ e $107.12251687$ .

$C + 162.12251687 = 180$

Passaggio 15.2

Sposta tutti i termini non contenenti $C$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Sottrai $162.12251687$ da entrambi i lati dell'equazione.

$C = 180 - 162.12251687$

Passaggio 15.2.2

Sottrai $162.12251687$ da $180$ .

$C = 17.87748312$

Passaggio 16

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Passaggio 17

Sostituisci i valori noti nel teorema dei seni per trovare $c$ .

$\frac{\sin (17.87748312)}{c} = \frac{\sin (55)}{12}$

Passaggio 18

Risolvi l'equazione per $c$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1

Scomponi ogni termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1.1

Calcola $\sin (17.87748312)$ .

$\frac{0.30698262}{c} = \frac{\sin (55)}{12}$

Passaggio 18.1.2

Calcola $\sin (55)$ .

$\frac{0.30698262}{c} = \frac{0.81915204}{12}$

Passaggio 18.1.3

Dividi $0.81915204$ per $12$ .

$\frac{0.30698262}{c} = 0.06826267$

Passaggio 18.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$c, 1$

Passaggio 18.2.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$c$

Passaggio 18.3

Moltiplica per $c$ ciascun termine in $\frac{0.30698262}{c} = 0.06826267$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{0.30698262}{c} = 0.06826267$ per $c$ .

$\frac{0.30698262}{c} c = 0.06826267 c$

Passaggio 18.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.3.2.1

Elimina il fattore comune di $c$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{0.30698262}{c} c = 0.06826267 c$

Passaggio 18.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$0.30698262 = 0.06826267 c$

Passaggio 18.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.4.1

Riscrivi l'equazione come $0.06826267 c = 0.30698262$ .

$0.06826267 c = 0.30698262$

Passaggio 18.4.2

Dividi per $0.06826267$ ciascun termine in $0.06826267 c = 0.30698262$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.4.2.1

Dividi per $0.06826267$ ciascun termine in $0.06826267 c = 0.30698262$ .

$\frac{0.06826267 c}{0.06826267} = \frac{0.30698262}{0.06826267}$

Passaggio 18.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $0.06826267$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{0.06826267 c}{0.06826267} = \frac{0.30698262}{0.06826267}$

Passaggio 18.4.2.2.1.2

Dividi $c$ per $1$ .

$c = \frac{0.30698262}{0.06826267}$

Passaggio 18.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.4.2.3.1

Dividi $0.30698262$ per $0.06826267$ .

$c = 4.49707903$

Passaggio 19

Questi sono i risultati per tutti gli angoli e i lati del triangolo dato.

Combinazione primo triangolo:

$A = 55$

$B = 72.87748312$

$C = 52.12251687$

$a = 12$

$b = 14$

$c = 11.56306118$

Combinazione secondo triangolo:

$A = 55$

$B = 107.12251687$

$C = 17.87748312$

$a = 12$

$b = 14$

$c = 4.49707903$