Precalcolo Esempi

$\frac{x^{4} - x^{2} + 4}{x^{3} - x^{2}}$

Passaggio 1

Dividi usando la divisione di polinomi lunga.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

Passaggio 1.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{4}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x^{3}$ .

$x$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

Passaggio 1.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0$

Passaggio 1.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{4} - x^{3} + 0 + 0$

$x$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0$

Passaggio 1.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0$

Passaggio 1.6

Abbassa il termine successivo dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0$

$4$

Passaggio 1.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x^{3}$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0$

$4$

Passaggio 1.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x$

$1$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0$

$4$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0$

Passaggio 1.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} - x^{2} + 0 + 0$

								$x$	+	$1$
$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$		$x^{4}$	+	$0 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
							-	$x^{4}$	+	$x^{3}$	-	$0$	-	$0$
									+	$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0$	+	$4$
									-	$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$0$	-	$0$

Passaggio 1.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

								$x$	+	$1$
$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$		$x^{4}$	+	$0 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
							-	$x^{4}$	+	$x^{3}$	-	$0$	-	$0$
									+	$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0$	+	$4$
									-	$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$0$	-	$0$
															+	$4$

Passaggio 1.11

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$x + 1 + \frac{4}{x^{3} - x^{2}}$

Passaggio 2

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{3} - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{3}$ .

$\frac{4}{x^{2} x - x^{2}}$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $x^{2}$ da $- x^{2}$ .

$\frac{4}{x^{2} x + x^{2} \cdot - 1}$

Passaggio 2.1.3

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} x + x^{2} \cdot - 1$ .

$\frac{4}{x^{2} (x - 1)}$

Passaggio 2.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $C$ .

$\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x - 1}$

Passaggio 2.3

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $x^{2} (x - 1)$ .

$\frac{4 (x^{2} (x - 1))}{x^{2} (x - 1)} = \frac{A (x^{2} (x - 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 2.4

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 (x^{2} (x - 1))}{x^{2} (x - 1)} = \frac{A (x^{2} (x - 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x^{2} (x - 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 2.5

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x^{2} (x - 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 2.5.2

Dividi $4$ per $1$ .

$4 = \frac{A (x^{2} (x - 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 2.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.1

Elimina il fattore comune.

$4 = \frac{A (x^{2} (x - 1))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 2.6.1.2

Dividi $A (x - 1)$ per $1$ .

$4 = A (x - 1) + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 2.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 = A x + A \cdot - 1 + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 2.6.3

Sposta $- 1$ alla sinistra di $A$ .

$4 = A x - 1 \cdot A + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 2.6.4

Riscrivi $- 1 A$ come $- A$ .

$4 = A x - A + \frac{B (x^{2} (x - 1))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 2.6.5

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.5.1

Scomponi $x$ da $B (x^{2} (x - 1))$ .

$4 = A x - A + \frac{x (B (x (x - 1)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 2.6.5.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.6.5.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$4 = A x - A + \frac{x (B (x (x - 1)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 2.6.5.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$4 = A x - A + \frac{x (B (x (x - 1)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 2.6.5.2.3

Elimina il fattore comune.

$4 = A x - A + \frac{x (B (x (x - 1)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 2.6.5.2.4

Riscrivi l'espressione.

$4 = A x - A + \frac{B (x (x - 1))}{1} + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 2.6.5.2.5

Dividi $B (x (x - 1))$ per $1$ .

$4 = A x - A + B (x (x - 1)) + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 2.6.6

Applica la proprietà distributiva.

$4 = A x - A + B (x \cdot x + x \cdot - 1) + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 2.6.7

Moltiplica $x$ per $x$ .

$4 = A x - A + B (x^{2} + x \cdot - 1) + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 2.6.8

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$4 = A x - A + B (x^{2} - 1 \cdot x) + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 2.6.9

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$4 = A x - A + B (x^{2} - x) + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 2.6.10

Applica la proprietà distributiva.

$4 = A x - A + B x^{2} + B (- x) + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 2.6.11

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$4 = A x - A + B x^{2} - B x + \frac{(C) (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 2.6.12

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

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Passaggio 2.6.12.1

Elimina il fattore comune.

$4 = A x - A + B x^{2} - B x + \frac{C (x^{2} (x - 1))}{x - 1}$

Passaggio 2.6.12.2

Dividi $(C) (x^{2})$ per $1$ .

$4 = A x - A + B x^{2} - B x + (C) (x^{2})$

$4 = A x - A + B x^{2} - B x + C x^{2}$

Passaggio 2.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Sposta $B$ .

$4 = A x - A + B x^{2} - x B + C x^{2}$

Passaggio 2.7.2

Sposta $- A$ .

$4 = A x + B x^{2} - x B + C x^{2} - A$

Passaggio 2.7.3

Sposta $- x B$ .

$4 = A x + B x^{2} + C x^{2} - x B - A$

Passaggio 2.7.4

Sposta $A x$ .

$4 = B x^{2} + C x^{2} + A x - x B - A$

Passaggio 3

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x^{2}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = B + C$

Passaggio 3.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = A - 1 B$

Passaggio 3.3

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$4 = - 1 A$

Passaggio 3.4

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = B + C$

$0 = A - 1 B$

$4 = - 1 A$

$0 = B + C$

$0 = A - 1 B$

$4 = - 1 A$

Passaggio 4

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Risolvi per $A$ in $4 = - 1 A$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Riscrivi l'equazione come $- 1 A = 4$ .

$- 1 A = 4$

$0 = B + C$

$0 = A - 1 B$

Passaggio 4.1.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- 1 A = 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- 1 A = 4$ .

$\frac{- 1 A}{- 1} = \frac{4}{- 1}$

$0 = B + C$

$0 = A - 1 B$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{A}{1} = \frac{4}{- 1}$

$0 = B + C$

$0 = A - 1 B$

Passaggio 4.1.2.2.2

Dividi $A$ per $1$ .

$A = \frac{4}{- 1}$

$0 = B + C$

$0 = A - 1 B$

$A = \frac{4}{- 1}$

$0 = B + C$

$0 = A - 1 B$

Passaggio 4.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.1

Dividi $4$ per $- 1$ .

$A = - 4$

$0 = B + C$

$0 = A - 1 B$

$A = - 4$

$0 = B + C$

$0 = A - 1 B$

$A = - 4$

$0 = B + C$

$0 = A - 1 B$

$A = - 4$

$0 = B + C$

$0 = A - 1 B$

Passaggio 4.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $- 4$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $0 = A - 1 B$ con $- 4$ .

$0 = (- 4) - 1 B$

$A = - 4$

$0 = B + C$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Riscrivi $- 1 B$ come $- B$ .

$0 = - 4 - B$

$A = - 4$

$0 = B + C$

$0 = - 4 - B$

$A = - 4$

$0 = B + C$

$0 = - 4 - B$

$A = - 4$

$0 = B + C$

Passaggio 4.3

Risolvi per $B$ in $0 = - 4 - B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Riscrivi l'equazione come $- 4 - B = 0$ .

$- 4 - B = 0$

$A = - 4$

$0 = B + C$

Passaggio 4.3.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- B = 4$

$A = - 4$

$0 = B + C$

Passaggio 4.3.3

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- B = 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- B = 4$ .

$\frac{- B}{- 1} = \frac{4}{- 1}$

$A = - 4$

$0 = B + C$

Passaggio 4.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{B}{1} = \frac{4}{- 1}$

$A = - 4$

$0 = B + C$

Passaggio 4.3.3.2.2

Dividi $B$ per $1$ .

$B = \frac{4}{- 1}$

$A = - 4$

$0 = B + C$

$B = \frac{4}{- 1}$

$A = - 4$

$0 = B + C$

Passaggio 4.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.3.1

Dividi $4$ per $- 1$ .

$B = - 4$

$A = - 4$

$0 = B + C$

$B = - 4$

$A = - 4$

$0 = B + C$

$B = - 4$

$A = - 4$

$0 = B + C$

$B = - 4$

$A = - 4$

$0 = B + C$

Passaggio 4.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $- 4$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $0 = B + C$ con $- 4$ .

$0 = (- 4) + C$

$B = - 4$

$A = - 4$

Passaggio 4.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

Rimuovi le parentesi.

$0 = - 4 + C$

$B = - 4$

$A = - 4$

$0 = - 4 + C$

$B = - 4$

$A = - 4$

$0 = - 4 + C$

$B = - 4$

$A = - 4$

Passaggio 4.5

Risolvi per $C$ in $0 = - 4 + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Riscrivi l'equazione come $- 4 + C = 0$ .

$- 4 + C = 0$

$B = - 4$

$A = - 4$

Passaggio 4.5.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$C = 4$

$B = - 4$

$A = - 4$

$C = 4$

$B = - 4$

$A = - 4$

Passaggio 4.6

Risolvi il sistema di equazioni.

$C = 4 B = - 4 A = - 4$

Passaggio 4.7

Elenca tutte le soluzioni.

$C = 4, B = - 4, A = - 4$

Passaggio 5

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $x + 1 + \frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x - 1}$ con i valori trovati per $A$ , $B$ e $C$ .

$x + 1 - \frac{4}{x^{2}} - \frac{4}{x} + \frac{4}{x - 1}$