Precalcolo Esempi

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x (x^{2} + 1)}$

Passaggio 1

Dividi usando la divisione di polinomi lunga.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Espandi $x (x^{2} + 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}$

Passaggio 1.1.2

Riordina $x$ e $1$ .

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x \cdot x^{2} + 1 x}$

Passaggio 1.1.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x \cdot x^{2} + 1 x}$

Passaggio 1.1.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x^{1 + 2} + 1 x}$

Passaggio 1.1.5

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x^{3} + 1 x}$

Passaggio 1.1.6

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{x^{4} + 3 x^{2} + 1}{x^{3} + x}$

Passaggio 1.2

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

Passaggio 1.3

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{4}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x^{3}$ .

$x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

Passaggio 1.4

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0$

Passaggio 1.5

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{4} + 0 + x^{2} + 0$

$x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0$

Passaggio 1.6

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0$

$2 x^{2}$

$0$

Passaggio 1.7

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0$

$2 x^{2}$

$0$

$1$

Passaggio 1.8

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$x + \frac{2 x^{2} + 1}{x^{3} + x}$

Passaggio 2

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

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Passaggio 2.1

Scomponi $x$ da $x^{3} + x$ .

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Passaggio 2.1.1

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$\frac{2 x^{2} + 1}{x \cdot x^{2} + x}$

Passaggio 2.1.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 1}{x \cdot x^{2} + x^{1}}$

Passaggio 2.1.3

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{2 x^{2} + 1}{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}$

Passaggio 2.1.4

Scomponi $x$ da $x \cdot x^{2} + x \cdot 1$ .

$\frac{2 x^{2} + 1}{x (x^{2} + 1)}$

Passaggio 2.2

Per ogni fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore è di 2° ordine, sono necessari $2$ termini nel numeratore. Il numero di termini richiesti nel numeratore è sempre uguale all'ordine del fattore nel denominatore.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.3

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $x (x^{2} + 1)$ .

$\frac{(2 x^{2} + 1) (x (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.4

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(2 x^{2} + 1) (x (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(2 x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.5

Elimina il fattore comune di $x^{2} + 1$ .

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Passaggio 2.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(2 x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.5.2

Dividi $2 x^{2} + 1$ per $1$ .

$2 x^{2} + 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.6

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.6.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 x^{2} + 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.6.1.2

Dividi $A (x^{2} + 1)$ per $1$ .

$2 x^{2} + 1 = A (x^{2} + 1) + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.6.3

Moltiplica $A$ per $1$ .

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.6.4

Elimina il fattore comune di $x^{2} + 1$ .

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Passaggio 2.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.6.4.2

Dividi $(B x + C) (x)$ per $1$ .

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A + (B x + C) (x)$

Passaggio 2.6.5

Applica la proprietà distributiva.

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A + B x \cdot x + C x$

Passaggio 2.6.6

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.6.6.1

Sposta $x$ .

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A + B (x \cdot x) + C x$

Passaggio 2.6.6.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + A + B x^{2} + C x$

Passaggio 2.7

Sposta $A$ .

$2 x^{2} + 1 = A x^{2} + B x^{2} + C x + A$

Passaggio 3

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

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Passaggio 3.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x^{2}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$2 = A + B$

Passaggio 3.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = C$

Passaggio 3.3

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = A$

Passaggio 3.4

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$2 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

$2 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

Passaggio 4

Risolvi il sistema di equazioni.

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $C = 0$ .

$C = 0$

$2 = A + B$

$1 = A$

Passaggio 4.2

Riscrivi l'equazione come $A = 1$ .

$A = 1$

$C = 0$

$2 = A + B$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $1$ in ogni equazione.

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Passaggio 4.3.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $2 = A + B$ con $1$ .

$2 = (1) + B$

$A = 1$

$C = 0$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.3.2.1

Rimuovi le parentesi.

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

Passaggio 4.4

Risolvi per $B$ in $2 = 1 + B$ .

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Passaggio 4.4.1

Riscrivi l'equazione come $1 + B = 2$ .

$1 + B = 2$

$A = 1$

$C = 0$

Passaggio 4.4.2

Sposta tutti i termini non contenenti $B$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.4.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$B = 2 - 1$

$A = 1$

$C = 0$

Passaggio 4.4.2.2

Sottrai $1$ da $2$ .

$B = 1$

$A = 1$

$C = 0$

$B = 1$

$A = 1$

$C = 0$

$B = 1$

$A = 1$

$C = 0$

Passaggio 4.5

Risolvi il sistema di equazioni.

$B = 1 A = 1 C = 0$

Passaggio 4.6

Elenca tutte le soluzioni.

$B = 1, A = 1, C = 0$

Passaggio 5

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $x + \frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}$ con i valori trovati per $A$ , $B$ e $C$ .

$x + \frac{1}{x} + \frac{1 x + 0}{x^{2} + 1}$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Rimuovi le parentesi.

$x + \frac{1}{x} + \frac{(1) \cdot x + 0}{x^{2} + 1}$

Passaggio 6.2

Somma $(1) \cdot x$ e $0$ .

$x + \frac{1}{x} + \frac{(1) \cdot x}{x^{2} + 1}$

Passaggio 6.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x + \frac{1}{x} + \frac{x}{x^{2} + 1}$