Precalcolo Esempi

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5}{{(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Per ogni fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore è di 2° ordine, sono necessari $2$ termini nel numeratore. Il numero di termini richiesti nel numeratore è sempre uguale all'ordine del fattore nel denominatore.

$\frac{A x + B}{{(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.2

$\frac{A x + B}{{(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}} + \frac{C x + D}{x^{2} - 2 x + 3}$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è ${(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}$ .

$\frac{(x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5) {(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}}{{(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}} = \frac{(A x + B) {(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}}{{(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}}{x^{2} - 2 x + 3}$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di ${(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 1.4.2

Dividi $x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5$ per $1$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = \frac{(A x + B) {(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}}{{(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}}{x^{2} - 2 x + 3}$

Passaggio 1.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Elimina il fattore comune di ${(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1

Elimina il fattore comune.

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = \frac{(A x + B) {(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}}{{(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}}{x^{2} - 2 x + 3}$

Passaggio 1.5.1.2

Dividi $A x + B$ per $1$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + \frac{(C x + D) {(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}}{x^{2} - 2 x + 3}$

Passaggio 1.5.2

Elimina il fattore comune di ${(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}$ e $x^{2} - 2 x + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

Scomponi $x^{2} - 2 x + 3$ da $(C x + D) {(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + \frac{(x^{2} - 2 x + 3) ((C x + D) (x^{2} - 2 x + 3))}{x^{2} - 2 x + 3}$

Passaggio 1.5.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.2.1

Moltiplica per $1$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + \frac{(x^{2} - 2 x + 3) ((C x + D) (x^{2} - 2 x + 3))}{(x^{2} - 2 x + 3) \cdot 1}$

Passaggio 1.5.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + \frac{(x^{2} - 2 x + 3) ((C x + D) (x^{2} - 2 x + 3))}{(x^{2} - 2 x + 3) \cdot 1}$

Passaggio 1.5.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + \frac{(C x + D) (x^{2} - 2 x + 3)}{1}$

Passaggio 1.5.2.2.4

Dividi $(C x + D) (x^{2} - 2 x + 3)$ per $1$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + (C x + D) (x^{2} - 2 x + 3)$

Passaggio 1.5.3

Espandi $(C x + D) (x^{2} - 2 x + 3)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + C x \cdot x^{2} + C x (- 2 x) + C x \cdot 3 + D x^{2} + D (- 2 x) + D \cdot 3$

Passaggio 1.5.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1.1

Sposta $x^{2}$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + C (x^{2} x) + C x (- 2 x) + C x \cdot 3 + D x^{2} + D (- 2 x) + D \cdot 3$

Passaggio 1.5.4.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + C (x^{2} x) + C x (- 2 x) + C x \cdot 3 + D x^{2} + D (- 2 x) + D \cdot 3$

Passaggio 1.5.4.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + C x^{2 + 1} + C x (- 2 x) + C x \cdot 3 + D x^{2} + D (- 2 x) + D \cdot 3$

Passaggio 1.5.4.1.3

Somma $2$ e $1$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + C x^{3} + C x (- 2 x) + C x \cdot 3 + D x^{2} + D (- 2 x) + D \cdot 3$

Passaggio 1.5.4.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + C x^{3} - 2 C x \cdot x + C x \cdot 3 + D x^{2} + D (- 2 x) + D \cdot 3$

Passaggio 1.5.4.3

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.3.1

Sposta $x$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + C x^{3} - 2 C (x \cdot x) + C x \cdot 3 + D x^{2} + D (- 2 x) + D \cdot 3$

Passaggio 1.5.4.3.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + C x^{3} - 2 C x^{2} + C x \cdot 3 + D x^{2} + D (- 2 x) + D \cdot 3$

Passaggio 1.5.4.4

Sposta $3$ alla sinistra di $C x$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + C x^{3} - 2 C x^{2} + 3 \cdot (C x) + D x^{2} + D (- 2 x) + D \cdot 3$

Passaggio 1.5.4.5

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + C x^{3} - 2 C x^{2} + 3 C x + D x^{2} - 2 D x + D \cdot 3$

Passaggio 1.5.4.6

Sposta $3$ alla sinistra di $D$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + B + C x^{3} - 2 C x^{2} + 3 C x + D x^{2} - 2 D x + 3 D$

Passaggio 1.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Sposta $B$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + C x^{3} - 2 C x^{2} + 3 C x + D x^{2} - 2 D x + B + 3 D$

Passaggio 1.6.2

Sposta $3 C x$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = A x + C x^{3} - 2 C x^{2} + D x^{2} + 3 C x - 2 D x + B + 3 D$

Passaggio 1.6.3

Sposta $A x$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 5 = C x^{3} - 2 C x^{2} + D x^{2} + A x + 3 C x - 2 D x + B + 3 D$

Passaggio 2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x^{3}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = C$

Passaggio 2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x^{2}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$- 4 = - 2 C + D$

Passaggio 2.3

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$9 = A + 3 C - 2 D$

Passaggio 2.4

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$- 5 = B + 3 D$

Passaggio 2.5

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$1 = C$

$- 4 = - 2 C + D$

$9 = A + 3 C - 2 D$

$- 5 = B + 3 D$

$1 = C$

$- 4 = - 2 C + D$

$9 = A + 3 C - 2 D$

$- 5 = B + 3 D$

Passaggio 3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $C = 1$ .

$C = 1$

$- 4 = - 2 C + D$

$9 = A + 3 C - 2 D$

$- 5 = B + 3 D$

Passaggio 3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ con $1$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ in $- 4 = - 2 C + D$ con $1$ .

$- 4 = - 2 \cdot 1 + D$

$C = 1$

$9 = A + 3 C - 2 D$

$- 5 = B + 3 D$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 4 = - 2 + D$

$C = 1$

$9 = A + 3 C - 2 D$

$- 5 = B + 3 D$

$- 4 = - 2 + D$

$C = 1$

$9 = A + 3 C - 2 D$

$- 5 = B + 3 D$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ in $9 = A + 3 C - 2 D$ con $1$ .

$9 = A + 3 (1) - 2 D$

$- 4 = - 2 + D$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

Passaggio 3.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Moltiplica $3$ per $1$ .

$9 = A + 3 - 2 D$

$- 4 = - 2 + D$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

$9 = A + 3 - 2 D$

$- 4 = - 2 + D$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

$9 = A + 3 - 2 D$

$- 4 = - 2 + D$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

Passaggio 3.3

Risolvi per $D$ in $- 4 = - 2 + D$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $- 2 + D = - 4$ .

$- 2 + D = - 4$

$9 = A + 3 - 2 D$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

Passaggio 3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $D$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$D = - 4 + 2$

$9 = A + 3 - 2 D$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

Passaggio 3.3.2.2

Somma $- 4$ e $2$ .

$D = - 2$

$9 = A + 3 - 2 D$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

$D = - 2$

$9 = A + 3 - 2 D$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

$D = - 2$

$9 = A + 3 - 2 D$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

Passaggio 3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $D$ con $- 2$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $D$ in $9 = A + 3 - 2 D$ con $- 2$ .

$9 = A + 3 - 2 \cdot - 2$

$D = - 2$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Semplifica $A + 3 - 2 \cdot - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$9 = A + 3 + 4$

$D = - 2$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

Passaggio 3.4.2.1.2

Somma $3$ e $4$ .

$9 = A + 7$

$D = - 2$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

$9 = A + 7$

$D = - 2$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

$9 = A + 7$

$D = - 2$

$C = 1$

$- 5 = B + 3 D$

Passaggio 3.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $D$ in $- 5 = B + 3 D$ con $- 2$ .

$- 5 = B + 3 (- 2)$

$9 = A + 7$

$D = - 2$

$C = 1$

Passaggio 3.4.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$- 5 = B - 6$

$9 = A + 7$

$D = - 2$

$C = 1$

$- 5 = B - 6$

$9 = A + 7$

$D = - 2$

$C = 1$

$- 5 = B - 6$

$9 = A + 7$

$D = - 2$

$C = 1$

Passaggio 3.5

Risolvi per $B$ in $- 5 = B - 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Riscrivi l'equazione come $B - 6 = - 5$ .

$B - 6 = - 5$

$9 = A + 7$

$D = - 2$

$C = 1$

Passaggio 3.5.2

Sposta tutti i termini non contenenti $B$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$B = - 5 + 6$

$9 = A + 7$

$D = - 2$

$C = 1$

Passaggio 3.5.2.2

Somma $- 5$ e $6$ .

$B = 1$

$9 = A + 7$

$D = - 2$

$C = 1$

$B = 1$

$9 = A + 7$

$D = - 2$

$C = 1$

$B = 1$

$9 = A + 7$

$D = - 2$

$C = 1$

Passaggio 3.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $1$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Riscrivi l'equazione come $A + 7 = 9$ .

$A + 7 = 9$

$B = 1$

$D = - 2$

$C = 1$

Passaggio 3.6.2

Sposta tutti i termini non contenenti $A$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.1

Sottrai $7$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = 9 - 7$

$B = 1$

$D = - 2$

$C = 1$

Passaggio 3.6.2.2

Sottrai $7$ da $9$ .

$A = 2$

$B = 1$

$D = - 2$

$C = 1$

$A = 2$

$B = 1$

$D = - 2$

$C = 1$

$A = 2$

$B = 1$

$D = - 2$

$C = 1$

Passaggio 3.7

Elenca tutte le soluzioni.

$A = 2, B = 1, D = - 2, C = 1$

Passaggio 4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A x + B}{{(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}} + \frac{C x + D}{x^{2} - 2 x + 3}$ con i valori trovati per $A$ , $B$ , $C$ e $D$ .

$\frac{2 x + 1}{{(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}} + \frac{1 x - 2}{x^{2} - 2 x + 3}$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Moltiplica $2$ per $x$ .

$\frac{2 x + 1}{{(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}} + \frac{(1) \cdot x - 2}{x^{2} - 2 x + 3}$

Passaggio 5.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{2 x + 1}{{(x^{2} - 2 x + 3)}^{2}} + \frac{x - 2}{x^{2} - 2 x + 3}$