Precalcolo Esempi

$\frac{x^{2} + 5 x + 3}{(x + 1) (x^{2} + 13 x + 1)}$

Passaggio 1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{x + 1}$

Passaggio 1.2

Per ogni fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore è di 2° ordine, sono necessari $2$ termini nel numeratore. Il numero di termini richiesti nel numeratore è sempre uguale all'ordine del fattore nel denominatore.

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + 13 x + 1}$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $(x + 1) (x^{2} + 13 x + 1)$ .

$\frac{(x^{2} + 5 x + 3) (x + 1) (x^{2} + 13 x + 1)}{(x + 1) (x^{2} + 13 x + 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} + 13 x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 13 x + 1)}{x^{2} + 13 x + 1}$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x^{2} + 5 x + 3) (x + 1) (x^{2} + 13 x + 1)}{(x + 1) (x^{2} + 13 x + 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} + 13 x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 13 x + 1)}{x^{2} + 13 x + 1}$

Passaggio 1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(x^{2} + 5 x + 3) (x^{2} + 13 x + 1)}{x^{2} + 13 x + 1} = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} + 13 x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 13 x + 1)}{x^{2} + 13 x + 1}$

Passaggio 1.5

Elimina il fattore comune di $x^{2} + 13 x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x^{2} + 5 x + 3) (x^{2} + 13 x + 1)}{x^{2} + 13 x + 1} = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} + 13 x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 13 x + 1)}{x^{2} + 13 x + 1}$

Passaggio 1.5.2

Dividi $x^{2} + 5 x + 3$ per $1$ .

$x^{2} + 5 x + 3 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} + 13 x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 13 x + 1)}{x^{2} + 13 x + 1}$

Passaggio 1.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1.1

Elimina il fattore comune.

$x^{2} + 5 x + 3 = \frac{A (x + 1) (x^{2} + 13 x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 13 x + 1)}{x^{2} + 13 x + 1}$

Passaggio 1.6.1.2

Dividi $(A) (x^{2} + 13 x + 1)$ per $1$ .

$x^{2} + 5 x + 3 = (A) (x^{2} + 13 x + 1) + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 13 x + 1)}{x^{2} + 13 x + 1}$

Passaggio 1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} + 5 x + 3 = A x^{2} + A (13 x) + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 13 x + 1)}{x^{2} + 13 x + 1}$

Passaggio 1.6.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.3.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{2} + 5 x + 3 = A x^{2} + 13 A x + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 13 x + 1)}{x^{2} + 13 x + 1}$

Passaggio 1.6.3.2

Moltiplica $A$ per $1$ .

$x^{2} + 5 x + 3 = A x^{2} + 13 A x + A + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 13 x + 1)}{x^{2} + 13 x + 1}$

Passaggio 1.6.4

Elimina il fattore comune di $x^{2} + 13 x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$x^{2} + 5 x + 3 = A x^{2} + 13 A x + A + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 13 x + 1)}{x^{2} + 13 x + 1}$

Passaggio 1.6.4.2

Dividi $(B x + C) (x + 1)$ per $1$ .

$x^{2} + 5 x + 3 = A x^{2} + 13 A x + A + (B x + C) (x + 1)$

Passaggio 1.6.5

Espandi $(B x + C) (x + 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} + 5 x + 3 = A x^{2} + 13 A x + A + B x (x + 1) + C (x + 1)$

Passaggio 1.6.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} + 5 x + 3 = A x^{2} + 13 A x + A + B x \cdot x + B x \cdot 1 + C (x + 1)$

Passaggio 1.6.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} + 5 x + 3 = A x^{2} + 13 A x + A + B x \cdot x + B x \cdot 1 + C x + C \cdot 1$

Passaggio 1.6.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.6.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.6.1.1

Sposta $x$ .

$x^{2} + 5 x + 3 = A x^{2} + 13 A x + A + B (x \cdot x) + B x \cdot 1 + C x + C \cdot 1$

Passaggio 1.6.6.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} + 5 x + 3 = A x^{2} + 13 A x + A + B x^{2} + B x \cdot 1 + C x + C \cdot 1$

Passaggio 1.6.6.2

Moltiplica $B$ per $1$ .

$x^{2} + 5 x + 3 = A x^{2} + 13 A x + A + B x^{2} + B x + C x + C \cdot 1$

Passaggio 1.6.6.3

Moltiplica $C$ per $1$ .

$x^{2} + 5 x + 3 = A x^{2} + 13 A x + A + B x^{2} + B x + C x + C$

Passaggio 1.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Sposta $A$ .

$x^{2} + 5 x + 3 = A x^{2} + 13 x A + A + B x^{2} + B x + C x + C$

Passaggio 1.7.2

Riordina $B$ e $x^{2}$ .

$x^{2} + 5 x + 3 = A x^{2} + 13 x A + A + B x^{2} + B x + C x + C$

Passaggio 1.7.3

Riordina $B$ e $x$ .

$x^{2} + 5 x + 3 = A x^{2} + 13 x A + A + B x^{2} + B x + C x + C$

Passaggio 1.7.4

Sposta $A$ .

$x^{2} + 5 x + 3 = A x^{2} + 13 x A + B x^{2} + B x + C x + A + C$

Passaggio 1.7.5

Sposta $13 x A$ .

$x^{2} + 5 x + 3 = A x^{2} + B x^{2} + 13 x A + B x + C x + A + C$

Passaggio 2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x^{2}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = A + B$

Passaggio 2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$5 = 13 A + B + C$

Passaggio 2.3

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$3 = A + C$

Passaggio 2.4

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$1 = A + B$

$5 = 13 A + B + C$

$3 = A + C$

$1 = A + B$

$5 = 13 A + B + C$

$3 = A + C$

Passaggio 3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Risolvi per $A$ in $1 = A + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Riscrivi l'equazione come $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$5 = 13 A + B + C$

$3 = A + C$

Passaggio 3.1.2

Sottrai $B$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = 1 - B$

$5 = 13 A + B + C$

$3 = A + C$

$A = 1 - B$

$5 = 13 A + B + C$

$3 = A + C$

Passaggio 3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $1 - B$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $5 = 13 A + B + C$ con $1 - B$ .

$5 = 13 (1 - B) + B + C$

$A = 1 - B$

$3 = A + C$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $13 (1 - B) + B + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$5 = 13 \cdot 1 + 13 (- B) + B + C$

$A = 1 - B$

$3 = A + C$

Passaggio 3.2.2.1.1.2

Moltiplica $13$ per $1$ .

$5 = 13 + 13 (- B) + B + C$

$A = 1 - B$

$3 = A + C$

Passaggio 3.2.2.1.1.3

Moltiplica $- 1$ per $13$ .

$5 = 13 - 13 B + B + C$

$A = 1 - B$

$3 = A + C$

$5 = 13 - 13 B + B + C$

$A = 1 - B$

$3 = A + C$

Passaggio 3.2.2.1.2

Somma $- 13 B$ e $B$ .

$5 = 13 - 12 B + C$

$A = 1 - B$

$3 = A + C$

$5 = 13 - 12 B + C$

$A = 1 - B$

$3 = A + C$

$5 = 13 - 12 B + C$

$A = 1 - B$

$3 = A + C$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $3 = A + C$ con $1 - B$ .

$3 = (1 - B) + C$

$5 = 13 - 12 B + C$

$A = 1 - B$

Passaggio 3.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Rimuovi le parentesi.

$3 = 1 - B + C$

$5 = 13 - 12 B + C$

$A = 1 - B$

$3 = 1 - B + C$

$5 = 13 - 12 B + C$

$A = 1 - B$

$3 = 1 - B + C$

$5 = 13 - 12 B + C$

$A = 1 - B$

Passaggio 3.3

Riordina $1$ e $- B$ .

$A = - B + 1$

$3 = 1 - B + C$

$5 = 13 - 12 B + C$

Passaggio 3.4

Risolvi per $C$ in $3 = 1 - B + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'equazione come $1 - B + C = 3$ .

$1 - B + C = 3$

$A = - B + 1$

$5 = 13 - 12 B + C$

Passaggio 3.4.2

Sposta tutti i termini non contenenti $C$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- B + C = 3 - 1$

$A = - B + 1$

$5 = 13 - 12 B + C$

Passaggio 3.4.2.2

Somma $B$ a entrambi i lati dell'equazione.

$C = 3 - 1 + B$

$A = - B + 1$

$5 = 13 - 12 B + C$

Passaggio 3.4.2.3

Sottrai $1$ da $3$ .

$C = 2 + B$

$A = - B + 1$

$5 = 13 - 12 B + C$

$C = 2 + B$

$A = - B + 1$

$5 = 13 - 12 B + C$

$C = 2 + B$

$A = - B + 1$

$5 = 13 - 12 B + C$

Passaggio 3.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ con $2 + B$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ in $5 = 13 - 12 B + C$ con $2 + B$ .

$5 = 13 - 12 B + 2 + B$

$C = 2 + B$

$A = - B + 1$

Passaggio 3.5.2

Semplifica $5 = 13 - 12 B + 2 + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.1

Rimuovi le parentesi.

$5 = 13 - 12 B + 2 + B$

$C = 2 + B$

$A = - B + 1$

$5 = 13 - 12 B + 2 + B$

$C = 2 + B$

$A = - B + 1$

Passaggio 3.5.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.1

Semplifica $13 - 12 B + 2 + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.1.1

Somma $13$ e $2$ .

$5 = - 12 B + 15 + B$

$C = 2 + B$

$A = - B + 1$

Passaggio 3.5.2.2.1.2

Somma $- 12 B$ e $B$ .

$5 = - 11 B + 15$

$C = 2 + B$

$A = - B + 1$

$5 = - 11 B + 15$

$C = 2 + B$

$A = - B + 1$

$5 = - 11 B + 15$

$C = 2 + B$

$A = - B + 1$

$5 = - 11 B + 15$

$C = 2 + B$

$A = - B + 1$

$5 = - 11 B + 15$

$C = 2 + B$

$A = - B + 1$

Passaggio 3.6

Risolvi per $B$ in $5 = - 11 B + 15$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Riscrivi l'equazione come $- 11 B + 15 = 5$ .

$- 11 B + 15 = 5$

$C = 2 + B$

$A = - B + 1$

Passaggio 3.6.2

Sposta tutti i termini non contenenti $B$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.1

Sottrai $15$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 11 B = 5 - 15$

$C = 2 + B$

$A = - B + 1$

Passaggio 3.6.2.2

Sottrai $15$ da $5$ .

$- 11 B = - 10$

$C = 2 + B$

$A = - B + 1$

$- 11 B = - 10$

$C = 2 + B$

$A = - B + 1$

Passaggio 3.6.3

Dividi per $- 11$ ciascun termine in $- 11 B = - 10$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.3.1

Dividi per $- 11$ ciascun termine in $- 11 B = - 10$ .

$\frac{- 11 B}{- 11} = \frac{- 10}{- 11}$

$C = 2 + B$

$A = - B + 1$

Passaggio 3.6.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 11$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 11 B}{- 11} = \frac{- 10}{- 11}$

$C = 2 + B$

$A = - B + 1$

Passaggio 3.6.3.2.1.2

Dividi $B$ per $1$ .

$B = \frac{- 10}{- 11}$

$C = 2 + B$

$A = - B + 1$

$B = \frac{- 10}{- 11}$

$C = 2 + B$

$A = - B + 1$

$B = \frac{- 10}{- 11}$

$C = 2 + B$

$A = - B + 1$

Passaggio 3.6.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.3.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$B = \frac{10}{11}$

$C = 2 + B$

$A = - B + 1$

$B = \frac{10}{11}$

$C = 2 + B$

$A = - B + 1$

$B = \frac{10}{11}$

$C = 2 + B$

$A = - B + 1$

$B = \frac{10}{11}$

$C = 2 + B$

$A = - B + 1$

Passaggio 3.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $\frac{10}{11}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $C = 2 + B$ con $\frac{10}{11}$ .

$C = 2 + \frac{10}{11}$

$B = \frac{10}{11}$

$A = - B + 1$

Passaggio 3.7.2

Semplifica $C = 2 + \frac{10}{11}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.1.1

Rimuovi le parentesi.

$C = 2 + \frac{10}{11}$

$B = \frac{10}{11}$

$A = - B + 1$

$C = 2 + \frac{10}{11}$

$B = \frac{10}{11}$

$A = - B + 1$

Passaggio 3.7.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.2.1

Semplifica $2 + \frac{10}{11}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.2.1.1

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{11}{11}$ .

$C = 2 \cdot \frac{11}{11} + \frac{10}{11}$

$B = \frac{10}{11}$

$A = - B + 1$

Passaggio 3.7.2.2.1.2

$2$ e $\frac{11}{11}$ .

$C = \frac{2 \cdot 11}{11} + \frac{10}{11}$

$B = \frac{10}{11}$

$A = - B + 1$

Passaggio 3.7.2.2.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$C = \frac{2 \cdot 11 + 10}{11}$

$B = \frac{10}{11}$

$A = - B + 1$

Passaggio 3.7.2.2.1.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.2.1.4.1

Moltiplica $2$ per $11$ .

$C = \frac{22 + 10}{11}$

$B = \frac{10}{11}$

$A = - B + 1$

Passaggio 3.7.2.2.1.4.2

Somma $22$ e $10$ .

$C = \frac{32}{11}$

$B = \frac{10}{11}$

$A = - B + 1$

$C = \frac{32}{11}$

$B = \frac{10}{11}$

$A = - B + 1$

$C = \frac{32}{11}$

$B = \frac{10}{11}$

$A = - B + 1$

$C = \frac{32}{11}$

$B = \frac{10}{11}$

$A = - B + 1$

$C = \frac{32}{11}$

$B = \frac{10}{11}$

$A = - B + 1$

Passaggio 3.7.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $A = - B + 1$ con $\frac{10}{11}$ .

$A = - (\frac{10}{11}) + 1$

$C = \frac{32}{11}$

$B = \frac{10}{11}$

Passaggio 3.7.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.4.1

Semplifica $- (\frac{10}{11}) + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.4.1.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$A = - \frac{10}{11} + \frac{11}{11}$

$C = \frac{32}{11}$

$B = \frac{10}{11}$

Passaggio 3.7.4.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A = \frac{- 10 + 11}{11}$

$C = \frac{32}{11}$

$B = \frac{10}{11}$

Passaggio 3.7.4.1.3

Somma $- 10$ e $11$ .

$A = \frac{1}{11}$

$C = \frac{32}{11}$

$B = \frac{10}{11}$

$A = \frac{1}{11}$

$C = \frac{32}{11}$

$B = \frac{10}{11}$

$A = \frac{1}{11}$

$C = \frac{32}{11}$

$B = \frac{10}{11}$

$A = \frac{1}{11}$

$C = \frac{32}{11}$

$B = \frac{10}{11}$

Passaggio 3.8

Elenca tutte le soluzioni.

$A = \frac{1}{11}, C = \frac{32}{11}, B = \frac{10}{11}$

Passaggio 4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{x + 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + 13 x + 1}$ con i valori trovati per $A$ , $B$ e $C$ .

$\frac{\frac{1}{11}}{x + 1} + \frac{\frac{10}{11 x} + \frac{32}{11}}{x^{2} + 13 x + 1}$

Passaggio 5

$\frac{10}{11}$ e $x$ .

$\frac{\frac{1}{11}}{x + 1} + \frac{\frac{10 x}{11} + \frac{32}{11}}{x^{2} + 13 x + 1}$