Precalcolo Esempi

$\frac{x^{2} + 6 x + 1}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

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Passaggio 1.1

Per ogni fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore è di 2° ordine, sono necessari $2$ termini nel numeratore. Il numero di termini richiesti nel numeratore è sempre uguale all'ordine del fattore nel denominatore.

$\frac{A x + B}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.2

$\frac{A x + B}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{C x + D}{x^{2} + 4}$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è ${(x^{2} + 4)}^{2}$ .

$\frac{(x^{2} + 6 x + 1) {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{2}} = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 4)}^{2}}{x^{2} + 4}$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di ${(x^{2} + 4)}^{2}$ .

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Passaggio 1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x^{2} + 6 x + 1) {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{2}} = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 4)}^{2}}{x^{2} + 4}$

Passaggio 1.4.2

Dividi $x^{2} + 6 x + 1$ per $1$ .

$x^{2} + 6 x + 1 = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 4)}^{2}}{x^{2} + 4}$

Passaggio 1.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Elimina il fattore comune di ${(x^{2} + 4)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1

Elimina il fattore comune.

$x^{2} + 6 x + 1 = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 4)}^{2}}{x^{2} + 4}$

Passaggio 1.5.1.2

Dividi $A x + B$ per $1$ .

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + B + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 4)}^{2}}{x^{2} + 4}$

Passaggio 1.5.2

Elimina il fattore comune di ${(x^{2} + 4)}^{2}$ e $x^{2} + 4$ .

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Passaggio 1.5.2.1

Scomponi $x^{2} + 4$ da $(C x + D) {(x^{2} + 4)}^{2}$ .

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + B + \frac{(x^{2} + 4) ((C x + D) (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Passaggio 1.5.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.2.1

Moltiplica per $1$ .

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + B + \frac{(x^{2} + 4) ((C x + D) (x^{2} + 4))}{(x^{2} + 4) \cdot 1}$

Passaggio 1.5.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + B + \frac{(x^{2} + 4) ((C x + D) (x^{2} + 4))}{(x^{2} + 4) \cdot 1}$

Passaggio 1.5.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + B + \frac{(C x + D) (x^{2} + 4)}{1}$

Passaggio 1.5.2.2.4

Dividi $(C x + D) (x^{2} + 4)$ per $1$ .

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + B + (C x + D) (x^{2} + 4)$

Passaggio 1.5.3

Espandi $(C x + D) (x^{2} + 4)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.5.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + B + C x (x^{2} + 4) + D (x^{2} + 4)$

Passaggio 1.5.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + B + C x \cdot x^{2} + C x \cdot 4 + D (x^{2} + 4)$

Passaggio 1.5.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + B + C x \cdot x^{2} + C x \cdot 4 + D x^{2} + D \cdot 4$

Passaggio 1.5.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.5.4.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.5.4.1.1

Sposta $x^{2}$ .

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + B + C (x^{2} x) + C x \cdot 4 + D x^{2} + D \cdot 4$

Passaggio 1.5.4.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

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Passaggio 1.5.4.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + B + C (x^{2} x) + C x \cdot 4 + D x^{2} + D \cdot 4$

Passaggio 1.5.4.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + B + C x^{2 + 1} + C x \cdot 4 + D x^{2} + D \cdot 4$

Passaggio 1.5.4.1.3

Somma $2$ e $1$ .

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + B + C x^{3} + C x \cdot 4 + D x^{2} + D \cdot 4$

Passaggio 1.5.4.2

Sposta $4$ alla sinistra di $C x$ .

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + B + C x^{3} + 4 \cdot (C x) + D x^{2} + D \cdot 4$

Passaggio 1.5.4.3

Sposta $4$ alla sinistra di $D$ .

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + B + C x^{3} + 4 C x + D x^{2} + 4 D$

Passaggio 1.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.6.1

Sposta $B$ .

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + C x^{3} + 4 C x + D x^{2} + B + 4 D$

Passaggio 1.6.2

Sposta $4 C x$ .

$x^{2} + 6 x + 1 = A x + C x^{3} + D x^{2} + 4 C x + B + 4 D$

Passaggio 1.6.3

Sposta $A x$ .

$x^{2} + 6 x + 1 = C x^{3} + D x^{2} + A x + 4 C x + B + 4 D$

Passaggio 2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

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Passaggio 2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x^{3}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = C$

Passaggio 2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x^{2}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = D$

Passaggio 2.3

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$6 = A + 4 C$

Passaggio 2.4

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = B + 4 D$

Passaggio 2.5

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = C$

$1 = D$

$6 = A + 4 C$

$1 = B + 4 D$

$0 = C$

$1 = D$

$6 = A + 4 C$

$1 = B + 4 D$

Passaggio 3

Risolvi il sistema di equazioni.

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $C = 0$ .

$C = 0$

$1 = D$

$6 = A + 4 C$

$1 = B + 4 D$

Passaggio 3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ con $0$ in ogni equazione.

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Passaggio 3.2.1

Riscrivi l'equazione come $D = 1$ .

$D = 1$

$C = 0$

$6 = A + 4 C$

$1 = B + 4 D$

Passaggio 3.2.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ in $6 = A + 4 C$ con $0$ .

$6 = A + 4 (0)$

$D = 1$

$C = 0$

$1 = B + 4 D$

Passaggio 3.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.3.1

Semplifica $A + 4 (0)$ .

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Passaggio 3.2.3.1.1

Moltiplica $4$ per $0$ .

$6 = A + 0$

$D = 1$

$C = 0$

$1 = B + 4 D$

Passaggio 3.2.3.1.2

Somma $A$ e $0$ .

$6 = A$

$D = 1$

$C = 0$

$1 = B + 4 D$

$6 = A$

$D = 1$

$C = 0$

$1 = B + 4 D$

$6 = A$

$D = 1$

$C = 0$

$1 = B + 4 D$

$6 = A$

$D = 1$

$C = 0$

$1 = B + 4 D$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $D$ con $1$ in ogni equazione.

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Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $A = 6$ .

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

$1 = B + 4 D$

Passaggio 3.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $D$ in $1 = B + 4 D$ con $1$ .

$1 = B + 4 (1)$

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.3.3.1

Moltiplica $4$ per $1$ .

$1 = B + 4$

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

$1 = B + 4$

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

$1 = B + 4$

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

Passaggio 3.4

Risolvi per $B$ in $1 = B + 4$ .

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Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'equazione come $B + 4 = 1$ .

$B + 4 = 1$

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

Passaggio 3.4.2

Sposta tutti i termini non contenenti $B$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.4.2.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$B = 1 - 4$

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

Passaggio 3.4.2.2

Sottrai $4$ da $1$ .

$B = - 3$

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

$B = - 3$

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

$B = - 3$

$A = 6$

$D = 1$

$C = 0$

Passaggio 3.5

Risolvi il sistema di equazioni.

$B = - 3 A = 6 D = 1 C = 0$

Passaggio 3.6

Elenca tutte le soluzioni.

$B = - 3, A = 6, D = 1, C = 0$

Passaggio 4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A x + B}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{C x + D}{x^{2} + 4}$ con i valori trovati per $A$ , $B$ , $C$ e $D$ .

$\frac{6 x - 3}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{0 x + 1}{x^{2} + 4}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $6$ per $x$ .

$\frac{6 x - 3}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{(0) \cdot x + 1}{x^{2} + 4}$

Passaggio 5.2

Moltiplica $0$ per $x$ .

$\frac{6 x - 3}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{0 + 1}{x^{2} + 4}$

Passaggio 5.3

Somma $0$ e $1$ .

$\frac{6 x - 3}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 4}$