Precalcolo Esempi

$\frac{x}{x^{2} - 16 x + 63}$

Passaggio 1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

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Passaggio 1.1

Scomponi $x^{2} - 16 x + 63$ usando il metodo AC.

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Passaggio 1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $63$ e la cui somma è $- 16$ .

$- 9, - 7$

Passaggio 1.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$\frac{x}{(x - 9) (x - 7)}$

Passaggio 1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{x - 9}$

Passaggio 1.3

$\frac{A}{x - 9} + \frac{B}{x - 7}$

Passaggio 1.4

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $(x - 9) (x - 7)$ .

$\frac{x (x - 9) (x - 7)}{(x - 9) (x - 7)} = \frac{(A) (x - 9) (x - 7)}{x - 9} + \frac{(B) (x - 9) (x - 7)}{x - 7}$

Passaggio 1.5

Elimina il fattore comune di $x - 9$ .

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Passaggio 1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (x - 9) (x - 7)}{(x - 9) (x - 7)} = \frac{(A) (x - 9) (x - 7)}{x - 9} + \frac{(B) (x - 9) (x - 7)}{x - 7}$

Passaggio 1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x (x - 7)}{x - 7} = \frac{(A) (x - 9) (x - 7)}{x - 9} + \frac{(B) (x - 9) (x - 7)}{x - 7}$

Passaggio 1.6

Elimina il fattore comune di $x - 7$ .

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Passaggio 1.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (x - 7)}{x - 7} = \frac{(A) (x - 9) (x - 7)}{x - 9} + \frac{(B) (x - 9) (x - 7)}{x - 7}$

Passaggio 1.6.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{(A) (x - 9) (x - 7)}{x - 9} + \frac{(B) (x - 9) (x - 7)}{x - 7}$

Passaggio 1.7

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.7.1

Elimina il fattore comune di $x - 9$ .

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Passaggio 1.7.1.1

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{A (x - 9) (x - 7)}{x - 9} + \frac{(B) (x - 9) (x - 7)}{x - 7}$

Passaggio 1.7.1.2

Dividi $(A) (x - 7)$ per $1$ .

$x = (A) (x - 7) + \frac{(B) (x - 9) (x - 7)}{x - 7}$

Passaggio 1.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$x = A x + A \cdot - 7 + \frac{(B) (x - 9) (x - 7)}{x - 7}$

Passaggio 1.7.3

Sposta $- 7$ alla sinistra di $A$ .

$x = A x - 7 \cdot A + \frac{(B) (x - 9) (x - 7)}{x - 7}$

Passaggio 1.7.4

Elimina il fattore comune di $x - 7$ .

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Passaggio 1.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = A x - 7 A + \frac{(B) (x - 9) (x - 7)}{x - 7}$

Passaggio 1.7.4.2

Dividi $(B) (x - 9)$ per $1$ .

$x = A x - 7 A + (B) (x - 9)$

Passaggio 1.7.5

Applica la proprietà distributiva.

$x = A x - 7 A + B x + B \cdot - 9$

Passaggio 1.7.6

Sposta $- 9$ alla sinistra di $B$ .

$x = A x - 7 A + B x - 9 B$

Passaggio 1.8

Sposta $- 7 A$ .

$x = A x + B x - 7 A - 9 B$

Passaggio 2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

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Passaggio 2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = A + B$

Passaggio 2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = - 7 A - 9 B$

Passaggio 2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$1 = A + B$

$0 = - 7 A - 9 B$

$1 = A + B$

$0 = - 7 A - 9 B$

Passaggio 3

Risolvi il sistema di equazioni.

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Passaggio 3.1

Risolvi per $A$ in $1 = A + B$ .

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Passaggio 3.1.1

Riscrivi l'equazione come $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$0 = - 7 A - 9 B$

Passaggio 3.1.2

Sottrai $B$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = 1 - B$

$0 = - 7 A - 9 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 7 A - 9 B$

Passaggio 3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $1 - B$ in ogni equazione.

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Passaggio 3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $0 = - 7 A - 9 B$ con $1 - B$ .

$0 = - 7 (1 - B) - 9 B$

$A = 1 - B$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $- 7 (1 - B) - 9 B$ .

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Passaggio 3.2.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$0 = - 7 \cdot 1 - 7 (- B) - 9 B$

$A = 1 - B$

Passaggio 3.2.2.1.1.2

Moltiplica $- 7$ per $1$ .

$0 = - 7 - 7 (- B) - 9 B$

$A = 1 - B$

Passaggio 3.2.2.1.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 7$ .

$0 = - 7 + 7 B - 9 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 7 + 7 B - 9 B$

$A = 1 - B$

Passaggio 3.2.2.1.2

Sottrai $9 B$ da $7 B$ .

$0 = - 7 - 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 7 - 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 7 - 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 7 - 2 B$

$A = 1 - B$

Passaggio 3.3

Risolvi per $B$ in $0 = - 7 - 2 B$ .

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Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $- 7 - 2 B = 0$ .

$- 7 - 2 B = 0$

$A = 1 - B$

Passaggio 3.3.2

Somma $7$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 B = 7$

$A = 1 - B$

Passaggio 3.3.3

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 B = 7$ e semplifica.

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Passaggio 3.3.3.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 B = 7$ .

$\frac{- 2 B}{- 2} = \frac{7}{- 2}$

$A = 1 - B$

Passaggio 3.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

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Passaggio 3.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 B}{- 2} = \frac{7}{- 2}$

$A = 1 - B$

Passaggio 3.3.3.2.1.2

Dividi $B$ per $1$ .

$B = \frac{7}{- 2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{7}{- 2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{7}{- 2}$

$A = 1 - B$

Passaggio 3.3.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.3.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$B = - \frac{7}{2}$

$A = 1 - B$

$B = - \frac{7}{2}$

$A = 1 - B$

$B = - \frac{7}{2}$

$A = 1 - B$

$B = - \frac{7}{2}$

$A = 1 - B$

Passaggio 3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $- \frac{7}{2}$ in ogni equazione.

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Passaggio 3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $A = 1 - B$ con $- \frac{7}{2}$ .

$A = 1 - (- \frac{7}{2})$

$B = - \frac{7}{2}$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.4.2.1

Semplifica $1 - (- \frac{7}{2})$ .

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Passaggio 3.4.2.1.1

Moltiplica $- (- \frac{7}{2})$ .

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Passaggio 3.4.2.1.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$A = 1 + 1 (\frac{7}{2})$

$B = - \frac{7}{2}$

Passaggio 3.4.2.1.1.2

Moltiplica $\frac{7}{2}$ per $1$ .

$A = 1 + \frac{7}{2}$

$B = - \frac{7}{2}$

$A = 1 + \frac{7}{2}$

$B = - \frac{7}{2}$

Passaggio 3.4.2.1.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$A = \frac{2}{2} + \frac{7}{2}$

$B = - \frac{7}{2}$

Passaggio 3.4.2.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A = \frac{2 + 7}{2}$

$B = - \frac{7}{2}$

Passaggio 3.4.2.1.4

Somma $2$ e $7$ .

$A = \frac{9}{2}$

$B = - \frac{7}{2}$

$A = \frac{9}{2}$

$B = - \frac{7}{2}$

$A = \frac{9}{2}$

$B = - \frac{7}{2}$

$A = \frac{9}{2}$

$B = - \frac{7}{2}$

Passaggio 3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$A = \frac{9}{2}, B = - \frac{7}{2}$

Passaggio 4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{x - 9} + \frac{B}{x - 7}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{\frac{9}{2}}{x - 9} + \frac{- \frac{7}{2}}{x - 7}$