Precalcolo Esempi

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = \\ c = & 10 \\ a = \end{matrix} & \begin{matrix} A = \\ B = & 65 ° \\ C = & 45 ° \end{matrix} \end{matrix}$

Passaggio 1

Il teorema dei seni si basa sulla proporzionalità dei lati e degli angoli nei triangoli. Secondo il teorema, per gli angoli di un triangolo non rettangolo, il rapporto tra un lato e il seno dell'angolo opposto resta costante.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Passaggio 2

Sostituisci i valori noti nel teorema dei seni per trovare $b$ .

$\frac{\sin (65 °)}{b} = \frac{\sin (45 °)}{10}$

Passaggio 3

Risolvi l'equazione per $b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Scomponi ogni termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Calcola $\sin (65 °)$ .

$\frac{0.90630778}{b} = \frac{\sin (45 °)}{10}$

Passaggio 3.1.2

Il valore esatto di $\sin (45 °)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.90630778}{b} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{10}$

Passaggio 3.1.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{0.90630778}{b} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{10}$

Passaggio 3.1.4

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{10}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.4.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $\frac{1}{10}$ .

$\frac{0.90630778}{b} = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 10}$

Passaggio 3.1.4.2

Moltiplica $2$ per $10$ .

$\frac{0.90630778}{b} = \frac{\sqrt{2}}{20}$

Passaggio 3.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$b, 20$

Passaggio 3.2.2

Poiché $b, 20$ contiene sia numeri che variabili, ci sono due passaggi per trovare il minimo comune multiplo. Trova il minimo comune multiplo per la parte numerica $1, 20$ , quindi trova il minimo comune multiplo per la parte variabile $b^{1}$ .

Passaggio 3.2.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 3.2.4

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 3.2.5

I fattori primi per $20$ sono $2 \cdot 2 \cdot 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.1

$20$ presenta fattori di $2$ e $10$ .

$2 \cdot 10$

Passaggio 3.2.5.2

$10$ presenta fattori di $2$ e $5$ .

$2 \cdot 2 \cdot 5$

Passaggio 3.2.6

Moltiplica $2 \cdot 2 \cdot 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.6.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 \cdot 5$

Passaggio 3.2.6.2

Moltiplica $4$ per $5$ .

$20$

Passaggio 3.2.7

Il fattore di $b^{1}$ è $b$ stesso.

$b^{1} = b$

$b$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 3.2.8

Il minimo comune multiplo (mcm) di $b^{1}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$b$

Passaggio 3.2.9

Il minimo comune multiplo di $b, 20$ è la parte numerica $20$ moltiplicata per la parte variabile.

$20 b$

Passaggio 3.3

Moltiplica per $20 b$ ciascun termine in $\frac{0.90630778}{b} = \frac{\sqrt{2}}{20}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{0.90630778}{b} = \frac{\sqrt{2}}{20}$ per $20 b$ .

$\frac{0.90630778}{b} (20 b) = \frac{\sqrt{2}}{20} (20 b)$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$20 \frac{0.90630778}{b} b = \frac{\sqrt{2}}{20} (20 b)$

Passaggio 3.3.2.2

Moltiplica $20 \frac{0.90630778}{b}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

$20$ e $\frac{0.90630778}{b}$ .

$\frac{20 \cdot 0.90630778}{b} b = \frac{\sqrt{2}}{20} (20 b)$

Passaggio 3.3.2.2.2

Moltiplica $20$ per $0.90630778$ .

$\frac{18.12615574}{b} b = \frac{\sqrt{2}}{20} (20 b)$

Passaggio 3.3.2.3

Elimina il fattore comune di $b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{18.12615574}{b} b = \frac{\sqrt{2}}{20} (20 b)$

Passaggio 3.3.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$18.12615574 = \frac{\sqrt{2}}{20} (20 b)$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Elimina il fattore comune di $20$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.1

Scomponi $20$ da $20 b$ .

$18.12615574 = \frac{\sqrt{2}}{20} (20 (b))$

Passaggio 3.3.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$18.12615574 = \frac{\sqrt{2}}{20} (20 b)$

Passaggio 3.3.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$18.12615574 = \sqrt{2} b$

Passaggio 3.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'equazione come $\sqrt{2} b = 18.12615574$ .

$\sqrt{2} b = 18.12615574$

Passaggio 3.4.2

Dividi per $\sqrt{2}$ ciascun termine in $\sqrt{2} b = 18.12615574$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Dividi per $\sqrt{2}$ ciascun termine in $\sqrt{2} b = 18.12615574$ .

$\frac{\sqrt{2} b}{\sqrt{2}} = \frac{18.12615574}{\sqrt{2}}$

Passaggio 3.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $\sqrt{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{2} b}{\sqrt{2}} = \frac{18.12615574}{\sqrt{2}}$

Passaggio 3.4.2.2.1.2

Dividi $b$ per $1$ .

$b = \frac{18.12615574}{\sqrt{2}}$

Passaggio 3.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.3.1

Moltiplica $\frac{18.12615574}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$b = \frac{18.12615574}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 3.4.2.3.2

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.3.2.1

Moltiplica $\frac{18.12615574}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$b = \frac{18.12615574 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 3.4.2.3.2.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$b = \frac{18.12615574 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Passaggio 3.4.2.3.2.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$b = \frac{18.12615574 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Passaggio 3.4.2.3.2.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$b = \frac{18.12615574 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 3.4.2.3.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$b = \frac{18.12615574 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 3.4.2.3.2.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.3.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$b = \frac{18.12615574 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 3.4.2.3.2.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$b = \frac{18.12615574 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.4.2.3.2.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$b = \frac{18.12615574 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.4.2.3.2.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.3.2.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$b = \frac{18.12615574 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.4.2.3.2.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$b = \frac{18.12615574 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Passaggio 3.4.2.3.2.6.5

Calcola l'esponente.

$b = \frac{18.12615574 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 3.4.2.3.3

Moltiplica $18.12615574$ per $\sqrt{2}$ .

$b = \frac{25.63425528}{2}$

Passaggio 3.4.2.3.4

Dividi $25.63425528$ per $2$ .

$b = 12.81712764$

Passaggio 4

La somma di tutti gli angoli di un triangolo è $180$ gradi.

$A + 45 ° + 65 ° = 180$

Passaggio 5

Risolvi l'equazione per $A$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Somma $45 °$ e $65 °$ .

$A + 110 = 180$

Passaggio 5.2

Sposta tutti i termini non contenenti $A$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Sottrai $110$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = 180 - 110$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $110$ da $180$ .

$A = 70$

Passaggio 6

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Passaggio 7

Sostituisci i valori noti nel teorema dei seni per trovare $a$ .

$\frac{\sin (70)}{a} = \frac{\sin (65 °)}{12.81712764}$

Passaggio 8

Risolvi l'equazione per $a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Scomponi ogni termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Calcola $\sin (70)$ .

$\frac{0.93969262}{a} = \frac{\sin (65 °)}{12.81712764}$

Passaggio 8.1.2

Calcola $\sin (65 °)$ .

$\frac{0.93969262}{a} = \frac{0.90630778}{12.81712764}$

Passaggio 8.1.3

Dividi $0.90630778$ per $12.81712764$ .

$\frac{0.93969262}{a} = 0.07071067$

Passaggio 8.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$a, 1$

Passaggio 8.2.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$a$

Passaggio 8.3

Moltiplica per $a$ ciascun termine in $\frac{0.93969262}{a} = 0.07071067$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{0.93969262}{a} = 0.07071067$ per $a$ .

$\frac{0.93969262}{a} a = 0.07071067 a$

Passaggio 8.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Elimina il fattore comune di $a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{0.93969262}{a} a = 0.07071067 a$

Passaggio 8.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$0.93969262 = 0.07071067 a$

Passaggio 8.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1

Riscrivi l'equazione come $0.07071067 a = 0.93969262$ .

$0.07071067 a = 0.93969262$

Passaggio 8.4.2

Dividi per $0.07071067$ ciascun termine in $0.07071067 a = 0.93969262$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.1

Dividi per $0.07071067$ ciascun termine in $0.07071067 a = 0.93969262$ .

$\frac{0.07071067 a}{0.07071067} = \frac{0.93969262}{0.07071067}$

Passaggio 8.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $0.07071067$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{0.07071067 a}{0.07071067} = \frac{0.93969262}{0.07071067}$

Passaggio 8.4.2.2.1.2

Dividi $a$ per $1$ .

$a = \frac{0.93969262}{0.07071067}$

Passaggio 8.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.3.1

Dividi $0.93969262$ per $0.07071067$ .

$a = 13.28926048$

Passaggio 9

Questi sono i risultati per tutti gli angoli e i lati del triangolo dato.

$A = 70$

$B = 65 °$

$C = 45 °$

$a = 13.28926048$

$b = 12.81712764$

$c = 10$