Precalcolo Esempi

$\frac{5 x^{2} - x + 1}{(x + 1) (x^{2} + 6)}$

Passaggio 1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{x + 1}$

Passaggio 1.2

Per ogni fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore è di 2° ordine, sono necessari $2$ termini nel numeratore. Il numero di termini richiesti nel numeratore è sempre uguale all'ordine del fattore nel denominatore.

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + 6}$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $(x + 1) (x^{2} + 6)$ .

$\frac{(5 x^{2} - x + 1) (x + 1) (x^{2} + 6)}{(x + 1) (x^{2} + 6)} = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} + 6)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 6)}{x^{2} + 6}$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(5 x^{2} - x + 1) (x + 1) (x^{2} + 6)}{(x + 1) (x^{2} + 6)} = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} + 6)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 6)}{x^{2} + 6}$

Passaggio 1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(5 x^{2} - x + 1) (x^{2} + 6)}{x^{2} + 6} = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} + 6)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 6)}{x^{2} + 6}$

Passaggio 1.5

Elimina il fattore comune di $x^{2} + 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(5 x^{2} - x + 1) (x^{2} + 6)}{x^{2} + 6} = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} + 6)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 6)}{x^{2} + 6}$

Passaggio 1.5.2

Dividi $5 x^{2} - x + 1$ per $1$ .

$5 x^{2} - x + 1 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} + 6)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 6)}{x^{2} + 6}$

Passaggio 1.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1.1

Elimina il fattore comune.

$5 x^{2} - x + 1 = \frac{A (x + 1) (x^{2} + 6)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 6)}{x^{2} + 6}$

Passaggio 1.6.1.2

Dividi $(A) (x^{2} + 6)$ per $1$ .

$5 x^{2} - x + 1 = (A) (x^{2} + 6) + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 6)}{x^{2} + 6}$

Passaggio 1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$5 x^{2} - x + 1 = A x^{2} + A \cdot 6 + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 6)}{x^{2} + 6}$

Passaggio 1.6.3

Sposta $6$ alla sinistra di $A$ .

$5 x^{2} - x + 1 = A x^{2} + 6 \cdot A + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 6)}{x^{2} + 6}$

Passaggio 1.6.4

Elimina il fattore comune di $x^{2} + 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$5 x^{2} - x + 1 = A x^{2} + 6 A + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 6)}{x^{2} + 6}$

Passaggio 1.6.4.2

Dividi $(B x + C) (x + 1)$ per $1$ .

$5 x^{2} - x + 1 = A x^{2} + 6 A + (B x + C) (x + 1)$

Passaggio 1.6.5

Espandi $(B x + C) (x + 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$5 x^{2} - x + 1 = A x^{2} + 6 A + B x (x + 1) + C (x + 1)$

Passaggio 1.6.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$5 x^{2} - x + 1 = A x^{2} + 6 A + B x \cdot x + B x \cdot 1 + C (x + 1)$

Passaggio 1.6.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$5 x^{2} - x + 1 = A x^{2} + 6 A + B x \cdot x + B x \cdot 1 + C x + C \cdot 1$

Passaggio 1.6.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.6.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.6.1.1

Sposta $x$ .

$5 x^{2} - x + 1 = A x^{2} + 6 A + B (x \cdot x) + B x \cdot 1 + C x + C \cdot 1$

Passaggio 1.6.6.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$5 x^{2} - x + 1 = A x^{2} + 6 A + B x^{2} + B x \cdot 1 + C x + C \cdot 1$

Passaggio 1.6.6.2

Moltiplica $B$ per $1$ .

$5 x^{2} - x + 1 = A x^{2} + 6 A + B x^{2} + B x + C x + C \cdot 1$

Passaggio 1.6.6.3

Moltiplica $C$ per $1$ .

$5 x^{2} - x + 1 = A x^{2} + 6 A + B x^{2} + B x + C x + C$

Passaggio 1.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Riordina $B$ e $x$ .

$5 x^{2} - x + 1 = A x^{2} + 6 A + B x^{2} + B x + C x + C$

Passaggio 1.7.2

Sposta $6 A$ .

$5 x^{2} - x + 1 = A x^{2} + B x^{2} + B x + C x + 6 A + C$

Passaggio 2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x^{2}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$5 = A + B$

Passaggio 2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$- 1 = B + C$

Passaggio 2.3

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = 6 A + C$

Passaggio 2.4

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$5 = A + B$

$- 1 = B + C$

$1 = 6 A + C$

$5 = A + B$

$- 1 = B + C$

$1 = 6 A + C$

Passaggio 3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Risolvi per $A$ in $5 = A + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Riscrivi l'equazione come $A + B = 5$ .

$A + B = 5$

$- 1 = B + C$

$1 = 6 A + C$

Passaggio 3.1.2

Sottrai $B$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = 5 - B$

$- 1 = B + C$

$1 = 6 A + C$

$A = 5 - B$

$- 1 = B + C$

$1 = 6 A + C$

Passaggio 3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $5 - B$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $1 = 6 A + C$ con $5 - B$ .

$1 = 6 (5 - B) + C$

$A = 5 - B$

$- 1 = B + C$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$1 = 6 \cdot 5 + 6 (- B) + C$

$A = 5 - B$

$- 1 = B + C$

Passaggio 3.2.2.1.2

Moltiplica $6$ per $5$ .

$1 = 30 + 6 (- B) + C$

$A = 5 - B$

$- 1 = B + C$

Passaggio 3.2.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$1 = 30 - 6 B + C$

$A = 5 - B$

$- 1 = B + C$

$1 = 30 - 6 B + C$

$A = 5 - B$

$- 1 = B + C$

$1 = 30 - 6 B + C$

$A = 5 - B$

$- 1 = B + C$

$1 = 30 - 6 B + C$

$A = 5 - B$

$- 1 = B + C$

Passaggio 3.3

Riordina $5$ e $- B$ .

$A = - B + 5$

$1 = 30 - 6 B + C$

$- 1 = B + C$

Passaggio 3.4

Risolvi per $C$ in $1 = 30 - 6 B + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'equazione come $30 - 6 B + C = 1$ .

$30 - 6 B + C = 1$

$A = - B + 5$

$- 1 = B + C$

Passaggio 3.4.2

Sposta tutti i termini non contenenti $C$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Sottrai $30$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 6 B + C = 1 - 30$

$A = - B + 5$

$- 1 = B + C$

Passaggio 3.4.2.2

Somma $6 B$ a entrambi i lati dell'equazione.

$C = 1 - 30 + 6 B$

$A = - B + 5$

$- 1 = B + C$

Passaggio 3.4.2.3

Sottrai $30$ da $1$ .

$C = - 29 + 6 B$

$A = - B + 5$

$- 1 = B + C$

$C = - 29 + 6 B$

$A = - B + 5$

$- 1 = B + C$

$C = - 29 + 6 B$

$A = - B + 5$

$- 1 = B + C$

Passaggio 3.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ con $- 29 + 6 B$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ in $- 1 = B + C$ con $- 29 + 6 B$ .

$- 1 = B - 29 + 6 B$

$C = - 29 + 6 B$

$A = - B + 5$

Passaggio 3.5.2

Semplifica $- 1 = B - 29 + 6 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.1

Rimuovi le parentesi.

$- 1 = B - 29 + 6 B$

$C = - 29 + 6 B$

$A = - B + 5$

$- 1 = B - 29 + 6 B$

$C = - 29 + 6 B$

$A = - B + 5$

Passaggio 3.5.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.1

Somma $B$ e $6 B$ .

$- 1 = 7 B - 29$

$C = - 29 + 6 B$

$A = - B + 5$

$- 1 = 7 B - 29$

$C = - 29 + 6 B$

$A = - B + 5$

$- 1 = 7 B - 29$

$C = - 29 + 6 B$

$A = - B + 5$

$- 1 = 7 B - 29$

$C = - 29 + 6 B$

$A = - B + 5$

Passaggio 3.6

Risolvi per $B$ in $- 1 = 7 B - 29$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Riscrivi l'equazione come $7 B - 29 = - 1$ .

$7 B - 29 = - 1$

$C = - 29 + 6 B$

$A = - B + 5$

Passaggio 3.6.2

Sposta tutti i termini non contenenti $B$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.1

Somma $29$ a entrambi i lati dell'equazione.

$7 B = - 1 + 29$

$C = - 29 + 6 B$

$A = - B + 5$

Passaggio 3.6.2.2

Somma $- 1$ e $29$ .

$7 B = 28$

$C = - 29 + 6 B$

$A = - B + 5$

$7 B = 28$

$C = - 29 + 6 B$

$A = - B + 5$

Passaggio 3.6.3

Dividi per $7$ ciascun termine in $7 B = 28$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.3.1

Dividi per $7$ ciascun termine in $7 B = 28$ .

$\frac{7 B}{7} = \frac{28}{7}$

$C = - 29 + 6 B$

$A = - B + 5$

Passaggio 3.6.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.3.2.1

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{7 B}{7} = \frac{28}{7}$

$C = - 29 + 6 B$

$A = - B + 5$

Passaggio 3.6.3.2.1.2

Dividi $B$ per $1$ .

$B = \frac{28}{7}$

$C = - 29 + 6 B$

$A = - B + 5$

$B = \frac{28}{7}$

$C = - 29 + 6 B$

$A = - B + 5$

$B = \frac{28}{7}$

$C = - 29 + 6 B$

$A = - B + 5$

Passaggio 3.6.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.3.3.1

Dividi $28$ per $7$ .

$B = 4$

$C = - 29 + 6 B$

$A = - B + 5$

$B = 4$

$C = - 29 + 6 B$

$A = - B + 5$

$B = 4$

$C = - 29 + 6 B$

$A = - B + 5$

$B = 4$

$C = - 29 + 6 B$

$A = - B + 5$

Passaggio 3.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $4$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $C = - 29 + 6 B$ con $4$ .

$C = - 29 + 6 (4)$

$B = 4$

$A = - B + 5$

Passaggio 3.7.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.1

Semplifica $- 29 + 6 (4)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.1.1

Moltiplica $6$ per $4$ .

$C = - 29 + 24$

$B = 4$

$A = - B + 5$

Passaggio 3.7.2.1.2

Somma $- 29$ e $24$ .

$C = - 5$

$B = 4$

$A = - B + 5$

$C = - 5$

$B = 4$

$A = - B + 5$

$C = - 5$

$B = 4$

$A = - B + 5$

Passaggio 3.7.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $A = - B + 5$ con $4$ .

$A = - (4) + 5$

$C = - 5$

$B = 4$

Passaggio 3.7.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.4.1

Semplifica $- (4) + 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.4.1.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$A = - 4 + 5$

$C = - 5$

$B = 4$

Passaggio 3.7.4.1.2

Somma $- 4$ e $5$ .

$A = 1$

$C = - 5$

$B = 4$

$A = 1$

$C = - 5$

$B = 4$

$A = 1$

$C = - 5$

$B = 4$

$A = 1$

$C = - 5$

$B = 4$

Passaggio 3.8

Elenca tutte le soluzioni.

$A = 1, C = - 5, B = 4$

Passaggio 4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{x + 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + 6}$ con i valori trovati per $A$ , $B$ e $C$ .

$\frac{1}{x + 1} + \frac{4 x - 5}{x^{2} + 6}$

Passaggio 5

Moltiplica $4$ per $x$ .

$\frac{1}{x + 1} + \frac{4 x - 5}{x^{2} + 6}$