Precalcolo Esempi

$\frac{x}{(x + 2) (x - 4)}$

Passaggio 1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{x + 2}$

Passaggio 1.2

$\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 4}$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $(x + 2) (x - 4)$ .

$\frac{x (x + 2) (x - 4)}{(x + 2) (x - 4)} = \frac{(A) (x + 2) (x - 4)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 4)}{x - 4}$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (x + 2) (x - 4)}{(x + 2) (x - 4)} = \frac{(A) (x + 2) (x - 4)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 4)}{x - 4}$

Passaggio 1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x (x - 4)}{x - 4} = \frac{(A) (x + 2) (x - 4)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 4)}{x - 4}$

Passaggio 1.5

Elimina il fattore comune di $x - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (x - 4)}{x - 4} = \frac{(A) (x + 2) (x - 4)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 4)}{x - 4}$

Passaggio 1.5.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{(A) (x + 2) (x - 4)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 4)}{x - 4}$

Passaggio 1.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Elimina il fattore comune di $x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1.1

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{A (x + 2) (x - 4)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 4)}{x - 4}$

Passaggio 1.6.1.2

Dividi $(A) (x - 4)$ per $1$ .

$x = (A) (x - 4) + \frac{(B) (x + 2) (x - 4)}{x - 4}$

Passaggio 1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$x = A x + A \cdot - 4 + \frac{(B) (x + 2) (x - 4)}{x - 4}$

Passaggio 1.6.3

Sposta $- 4$ alla sinistra di $A$ .

$x = A x - 4 \cdot A + \frac{(B) (x + 2) (x - 4)}{x - 4}$

Passaggio 1.6.4

Elimina il fattore comune di $x - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = A x - 4 A + \frac{(B) (x + 2) (x - 4)}{x - 4}$

Passaggio 1.6.4.2

Dividi $(B) (x + 2)$ per $1$ .

$x = A x - 4 A + (B) (x + 2)$

Passaggio 1.6.5

Applica la proprietà distributiva.

$x = A x - 4 A + B x + B \cdot 2$

Passaggio 1.6.6

Sposta $2$ alla sinistra di $B$ .

$x = A x - 4 A + B x + 2 B$

Passaggio 1.7

Sposta $- 4 A$ .

$x = A x + B x - 4 A + 2 B$

Passaggio 2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = A + B$

Passaggio 2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = - 4 A + 2 B$

Passaggio 2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$1 = A + B$

$0 = - 4 A + 2 B$

$1 = A + B$

$0 = - 4 A + 2 B$

Passaggio 3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Risolvi per $A$ in $1 = A + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Riscrivi l'equazione come $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$0 = - 4 A + 2 B$

Passaggio 3.1.2

Sottrai $B$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = 1 - B$

$0 = - 4 A + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 4 A + 2 B$

Passaggio 3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $1 - B$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $0 = - 4 A + 2 B$ con $1 - B$ .

$0 = - 4 (1 - B) + 2 B$

$A = 1 - B$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $- 4 (1 - B) + 2 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$0 = - 4 \cdot 1 - 4 (- B) + 2 B$

$A = 1 - B$

Passaggio 3.2.2.1.1.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$0 = - 4 - 4 (- B) + 2 B$

$A = 1 - B$

Passaggio 3.2.2.1.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$0 = - 4 + 4 B + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 4 + 4 B + 2 B$

$A = 1 - B$

Passaggio 3.2.2.1.2

Somma $4 B$ e $2 B$ .

$0 = - 4 + 6 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 4 + 6 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 4 + 6 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 4 + 6 B$

$A = 1 - B$

Passaggio 3.3

Risolvi per $B$ in $0 = - 4 + 6 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $- 4 + 6 B = 0$ .

$- 4 + 6 B = 0$

$A = 1 - B$

Passaggio 3.3.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$6 B = 4$

$A = 1 - B$

Passaggio 3.3.3

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 B = 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 B = 4$ .

$\frac{6 B}{6} = \frac{4}{6}$

$A = 1 - B$

Passaggio 3.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 B}{6} = \frac{4}{6}$

$A = 1 - B$

Passaggio 3.3.3.2.1.2

Dividi $B$ per $1$ .

$B = \frac{4}{6}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{4}{6}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{4}{6}$

$A = 1 - B$

Passaggio 3.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.3.1

Elimina il fattore comune di $4$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.3.1.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$B = \frac{2 (2)}{6}$

$A = 1 - B$

Passaggio 3.3.3.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$B = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}$

$A = 1 - B$

Passaggio 3.3.3.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$B = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}$

$A = 1 - B$

Passaggio 3.3.3.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$B = \frac{2}{3}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{2}{3}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{2}{3}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{2}{3}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{2}{3}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{2}{3}$

$A = 1 - B$

Passaggio 3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $\frac{2}{3}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $A = 1 - B$ con $\frac{2}{3}$ .

$A = 1 - (\frac{2}{3})$

$B = \frac{2}{3}$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Semplifica $1 - (\frac{2}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$A = \frac{3}{3} - \frac{2}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

Passaggio 3.4.2.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A = \frac{3 - 2}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

Passaggio 3.4.2.1.3

Sottrai $2$ da $3$ .

$A = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

Passaggio 3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$A = \frac{1}{3}, B = \frac{2}{3}$

Passaggio 4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 4}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{\frac{1}{3}}{x + 2} + \frac{\frac{2}{3}}{x - 4}$