Precalcolo Esempi

$\frac{x}{(x^{2} + 9) (x + 1)}$

Passaggio 1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Per ogni fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore è di 2° ordine, sono necessari $2$ termini nel numeratore. Il numero di termini richiesti nel numeratore è sempre uguale all'ordine del fattore nel denominatore.

$\frac{A x + B}{x^{2} + 9}$

Passaggio 1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $C$ .

$\frac{A x + B}{x^{2} + 9} + \frac{C}{x + 1}$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $(x^{2} + 9) (x + 1)$ .

$\frac{x (x^{2} + 9) (x + 1)}{(x^{2} + 9) (x + 1)} = \frac{(A x + B) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x^{2} + 9} + \frac{(C) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x + 1}$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $x^{2} + 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (x^{2} + 9) (x + 1)}{(x^{2} + 9) (x + 1)} = \frac{(A x + B) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x^{2} + 9} + \frac{(C) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x + 1}$

Passaggio 1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x (x + 1)}{x + 1} = \frac{(A x + B) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x^{2} + 9} + \frac{(C) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x + 1}$

Passaggio 1.5

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (x + 1)}{x + 1} = \frac{(A x + B) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x^{2} + 9} + \frac{(C) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x + 1}$

Passaggio 1.5.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{(A x + B) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x^{2} + 9} + \frac{(C) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x + 1}$

Passaggio 1.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Elimina il fattore comune di $x^{2} + 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1.1

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{(A x + B) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x^{2} + 9} + \frac{(C) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x + 1}$

Passaggio 1.6.1.2

Dividi $(A x + B) (x + 1)$ per $1$ .

$x = (A x + B) (x + 1) + \frac{(C) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x + 1}$

Passaggio 1.6.2

Espandi $(A x + B) (x + 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$x = A x (x + 1) + B (x + 1) + \frac{(C) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x + 1}$

Passaggio 1.6.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$x = A x \cdot x + A x \cdot 1 + B (x + 1) + \frac{(C) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x + 1}$

Passaggio 1.6.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$x = A x \cdot x + A x \cdot 1 + B x + B \cdot 1 + \frac{(C) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x + 1}$

Passaggio 1.6.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.3.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.3.1.1

Sposta $x$ .

$x = A (x \cdot x) + A x \cdot 1 + B x + B \cdot 1 + \frac{(C) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x + 1}$

Passaggio 1.6.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x = A x^{2} + A x \cdot 1 + B x + B \cdot 1 + \frac{(C) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x + 1}$

Passaggio 1.6.3.2

Moltiplica $A$ per $1$ .

$x = A x^{2} + A x + B x + B \cdot 1 + \frac{(C) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x + 1}$

Passaggio 1.6.3.3

Moltiplica $B$ per $1$ .

$x = A x^{2} + A x + B x + B + \frac{(C) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x + 1}$

Passaggio 1.6.4

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = A x^{2} + A x + B x + B + \frac{(C) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x + 1}$

Passaggio 1.6.4.2

Dividi $(C) (x^{2} + 9)$ per $1$ .

$x = A x^{2} + A x + B x + B + (C) (x^{2} + 9)$

Passaggio 1.6.5

Applica la proprietà distributiva.

$x = A x^{2} + A x + B x + B + C x^{2} + C \cdot 9$

Passaggio 1.6.6

Sposta $9$ alla sinistra di $C$ .

$x = A x^{2} + A x + B x + B + C x^{2} + 9 C$

Passaggio 1.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Riordina $B$ e $x$ .

$x = A x^{2} + A x + B x + B + C x^{2} + 9 C$

Passaggio 1.7.2

Sposta $B$ .

$x = A x^{2} + A x + B x + C x^{2} + B + 9 C$

Passaggio 1.7.3

Sposta $B x$ .

$x = A x^{2} + A x + C x^{2} + B x + B + 9 C$

Passaggio 1.7.4

Sposta $A x$ .

$x = A x^{2} + C x^{2} + A x + B x + B + 9 C$

Passaggio 2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x^{2}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = A + C$

Passaggio 2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = A + B$

Passaggio 2.3

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = B + 9 C$

Passaggio 2.4

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = A + C$

$1 = A + B$

$0 = B + 9 C$

$0 = A + C$

$1 = A + B$

$0 = B + 9 C$

Passaggio 3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Risolvi per $A$ in $0 = A + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Riscrivi l'equazione come $A + C = 0$ .

$A + C = 0$

$1 = A + B$

$0 = B + 9 C$

Passaggio 3.1.2

Sottrai $C$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = - C$

$1 = A + B$

$0 = B + 9 C$

$A = - C$

$1 = A + B$

$0 = B + 9 C$

Passaggio 3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $- C$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $1 = A + B$ con $- C$ .

$1 = (- C) + B$

$A = - C$

$0 = B + 9 C$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$1 = - C + B$

$A = - C$

$0 = B + 9 C$

$1 = - C + B$

$A = - C$

$0 = B + 9 C$

$1 = - C + B$

$A = - C$

$0 = B + 9 C$

Passaggio 3.3

Risolvi per $B$ in $1 = - C + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $- C + B = 1$ .

$- C + B = 1$

$A = - C$

$0 = B + 9 C$

Passaggio 3.3.2

Somma $C$ a entrambi i lati dell'equazione.

$B = 1 + C$

$A = - C$

$0 = B + 9 C$

$B = 1 + C$

$A = - C$

$0 = B + 9 C$

Passaggio 3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $1 + C$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $0 = B + 9 C$ con $1 + C$ .

$0 = (1 + C) + 9 C$

$B = 1 + C$

$A = - C$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Somma $C$ e $9 C$ .

$0 = 1 + 10 C$

$B = 1 + C$

$A = - C$

$0 = 1 + 10 C$

$B = 1 + C$

$A = - C$

$0 = 1 + 10 C$

$B = 1 + C$

$A = - C$

Passaggio 3.5

Risolvi per $C$ in $0 = 1 + 10 C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Riscrivi l'equazione come $1 + 10 C = 0$ .

$1 + 10 C = 0$

$B = 1 + C$

$A = - C$

Passaggio 3.5.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$10 C = - 1$

$B = 1 + C$

$A = - C$

Passaggio 3.5.3

Dividi per $10$ ciascun termine in $10 C = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1

Dividi per $10$ ciascun termine in $10 C = - 1$ .

$\frac{10 C}{10} = \frac{- 1}{10}$

$B = 1 + C$

$A = - C$

Passaggio 3.5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{10 C}{10} = \frac{- 1}{10}$

$B = 1 + C$

$A = - C$

Passaggio 3.5.3.2.1.2

Dividi $C$ per $1$ .

$C = \frac{- 1}{10}$

$B = 1 + C$

$A = - C$

$C = \frac{- 1}{10}$

$B = 1 + C$

$A = - C$

$C = \frac{- 1}{10}$

$B = 1 + C$

$A = - C$

Passaggio 3.5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$C = - \frac{1}{10}$

$B = 1 + C$

$A = - C$

$C = - \frac{1}{10}$

$B = 1 + C$

$A = - C$

$C = - \frac{1}{10}$

$B = 1 + C$

$A = - C$

$C = - \frac{1}{10}$

$B = 1 + C$

$A = - C$

Passaggio 3.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ con $- \frac{1}{10}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ in $B = 1 + C$ con $- \frac{1}{10}$ .

$B = 1 - \frac{1}{10}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = - C$

Passaggio 3.6.2

Semplifica $B = 1 - \frac{1}{10}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.1.1

Rimuovi le parentesi.

$B = 1 - \frac{1}{10}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = - C$

$B = 1 - \frac{1}{10}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = - C$

Passaggio 3.6.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.2.1

Semplifica $1 - \frac{1}{10}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.2.1.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$B = \frac{10}{10} - \frac{1}{10}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = - C$

Passaggio 3.6.2.2.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$B = \frac{10 - 1}{10}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = - C$

Passaggio 3.6.2.2.1.3

Sottrai $1$ da $10$ .

$B = \frac{9}{10}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = - C$

$B = \frac{9}{10}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = - C$

$B = \frac{9}{10}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = - C$

$B = \frac{9}{10}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = - C$

Passaggio 3.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ in $A = - C$ con $- \frac{1}{10}$ .

$A = - (- \frac{1}{10})$

$B = \frac{9}{10}$

$C = - \frac{1}{10}$

Passaggio 3.6.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.4.1

Moltiplica $- (- \frac{1}{10})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.4.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$A = 1 (\frac{1}{10})$

$B = \frac{9}{10}$

$C = - \frac{1}{10}$

Passaggio 3.6.4.1.2

Moltiplica $\frac{1}{10}$ per $1$ .

$A = \frac{1}{10}$

$B = \frac{9}{10}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{10}$

$B = \frac{9}{10}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{10}$

$B = \frac{9}{10}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{10}$

$B = \frac{9}{10}$

$C = - \frac{1}{10}$

Passaggio 3.7

Elenca tutte le soluzioni.

$A = \frac{1}{10}, B = \frac{9}{10}, C = - \frac{1}{10}$

Passaggio 4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A x + B}{x^{2} + 9} + \frac{C}{x + 1}$ con i valori trovati per $A$ , $B$ e $C$ .

$\frac{\frac{1}{10 x} + \frac{9}{10}}{x^{2} + 9} + \frac{- \frac{1}{10}}{x + 1}$

Passaggio 5

$\frac{1}{10}$ e $x$ .

$\frac{\frac{x}{10} + \frac{9}{10}}{x^{2} + 9} + \frac{- \frac{1}{10}}{x + 1}$