Precalcolo Esempi

$\frac{9 x^{2} - 22 x + 42}{(x - 6) (x^{2} + 3)}$

Passaggio 1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{x - 6}$

Passaggio 1.2

Per ogni fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore è di 2° ordine, sono necessari $2$ termini nel numeratore. Il numero di termini richiesti nel numeratore è sempre uguale all'ordine del fattore nel denominatore.

$\frac{A}{x - 6} + \frac{B x + C}{x^{2} + 3}$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $(x - 6) (x^{2} + 3)$ .

$\frac{(9 x^{2} - 22 x + 42) (x - 6) (x^{2} + 3)}{(x - 6) (x^{2} + 3)} = \frac{(A) (x - 6) (x^{2} + 3)}{x - 6} + \frac{(B x + C) (x - 6) (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3}$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $x - 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(9 x^{2} - 22 x + 42) (x - 6) (x^{2} + 3)}{(x - 6) (x^{2} + 3)} = \frac{(A) (x - 6) (x^{2} + 3)}{x - 6} + \frac{(B x + C) (x - 6) (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3}$

Passaggio 1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(9 x^{2} - 22 x + 42) (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3} = \frac{(A) (x - 6) (x^{2} + 3)}{x - 6} + \frac{(B x + C) (x - 6) (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3}$

Passaggio 1.5

Elimina il fattore comune di $x^{2} + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(9 x^{2} - 22 x + 42) (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3} = \frac{(A) (x - 6) (x^{2} + 3)}{x - 6} + \frac{(B x + C) (x - 6) (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3}$

Passaggio 1.5.2

Dividi $9 x^{2} - 22 x + 42$ per $1$ .

$9 x^{2} - 22 x + 42 = \frac{(A) (x - 6) (x^{2} + 3)}{x - 6} + \frac{(B x + C) (x - 6) (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3}$

Passaggio 1.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Elimina il fattore comune di $x - 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1.1

Elimina il fattore comune.

$9 x^{2} - 22 x + 42 = \frac{A (x - 6) (x^{2} + 3)}{x - 6} + \frac{(B x + C) (x - 6) (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3}$

Passaggio 1.6.1.2

Dividi $(A) (x^{2} + 3)$ per $1$ .

$9 x^{2} - 22 x + 42 = (A) (x^{2} + 3) + \frac{(B x + C) (x - 6) (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3}$

Passaggio 1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$9 x^{2} - 22 x + 42 = A x^{2} + A \cdot 3 + \frac{(B x + C) (x - 6) (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3}$

Passaggio 1.6.3

Sposta $3$ alla sinistra di $A$ .

$9 x^{2} - 22 x + 42 = A x^{2} + 3 \cdot A + \frac{(B x + C) (x - 6) (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3}$

Passaggio 1.6.4

Elimina il fattore comune di $x^{2} + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$9 x^{2} - 22 x + 42 = A x^{2} + 3 A + \frac{(B x + C) (x - 6) (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3}$

Passaggio 1.6.4.2

Dividi $(B x + C) (x - 6)$ per $1$ .

$9 x^{2} - 22 x + 42 = A x^{2} + 3 A + (B x + C) (x - 6)$

Passaggio 1.6.5

Espandi $(B x + C) (x - 6)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$9 x^{2} - 22 x + 42 = A x^{2} + 3 A + B x (x - 6) + C (x - 6)$

Passaggio 1.6.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$9 x^{2} - 22 x + 42 = A x^{2} + 3 A + B x \cdot x + B x \cdot - 6 + C (x - 6)$

Passaggio 1.6.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$9 x^{2} - 22 x + 42 = A x^{2} + 3 A + B x \cdot x + B x \cdot - 6 + C x + C \cdot - 6$

Passaggio 1.6.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.6.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.6.1.1

Sposta $x$ .

$9 x^{2} - 22 x + 42 = A x^{2} + 3 A + B (x \cdot x) + B x \cdot - 6 + C x + C \cdot - 6$

Passaggio 1.6.6.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$9 x^{2} - 22 x + 42 = A x^{2} + 3 A + B x^{2} + B x \cdot - 6 + C x + C \cdot - 6$

Passaggio 1.6.6.2

Sposta $- 6$ alla sinistra di $B x$ .

$9 x^{2} - 22 x + 42 = A x^{2} + 3 A + B x^{2} - 6 \cdot (B x) + C x + C \cdot - 6$

Passaggio 1.6.6.3

Sposta $- 6$ alla sinistra di $C$ .

$9 x^{2} - 22 x + 42 = A x^{2} + 3 A + B x^{2} - 6 B x + C x - 6 C$

Passaggio 1.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Sposta $B$ .

$9 x^{2} - 22 x + 42 = A x^{2} + 3 A + B x^{2} - 6 x B + C x - 6 C$

Passaggio 1.7.2

Sposta $3 A$ .

$9 x^{2} - 22 x + 42 = A x^{2} + B x^{2} - 6 x B + C x + 3 A - 6 C$

Passaggio 2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x^{2}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$9 = A + B$

Passaggio 2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$- 22 = - 6 B + C$

Passaggio 2.3

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$42 = 3 A - 6 C$

Passaggio 2.4

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$9 = A + B$

$- 22 = - 6 B + C$

$42 = 3 A - 6 C$

$9 = A + B$

$- 22 = - 6 B + C$

$42 = 3 A - 6 C$

Passaggio 3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Risolvi per $A$ in $9 = A + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Riscrivi l'equazione come $A + B = 9$ .

$A + B = 9$

$- 22 = - 6 B + C$

$42 = 3 A - 6 C$

Passaggio 3.1.2

Sottrai $B$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = 9 - B$

$- 22 = - 6 B + C$

$42 = 3 A - 6 C$

$A = 9 - B$

$- 22 = - 6 B + C$

$42 = 3 A - 6 C$

Passaggio 3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $9 - B$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $42 = 3 A - 6 C$ con $9 - B$ .

$42 = 3 (9 - B) - 6 C$

$A = 9 - B$

$- 22 = - 6 B + C$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$42 = 3 \cdot 9 + 3 (- B) - 6 C$

$A = 9 - B$

$- 22 = - 6 B + C$

Passaggio 3.2.2.1.2

Moltiplica $3$ per $9$ .

$42 = 27 + 3 (- B) - 6 C$

$A = 9 - B$

$- 22 = - 6 B + C$

Passaggio 3.2.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$42 = 27 - 3 B - 6 C$

$A = 9 - B$

$- 22 = - 6 B + C$

$42 = 27 - 3 B - 6 C$

$A = 9 - B$

$- 22 = - 6 B + C$

$42 = 27 - 3 B - 6 C$

$A = 9 - B$

$- 22 = - 6 B + C$

$42 = 27 - 3 B - 6 C$

$A = 9 - B$

$- 22 = - 6 B + C$

Passaggio 3.3

Riordina $9$ e $- B$ .

$A = - B + 9$

$42 = 27 - 3 B - 6 C$

$- 22 = - 6 B + C$

Passaggio 3.4

Risolvi per $C$ in $- 22 = - 6 B + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'equazione come $- 6 B + C = - 22$ .

$- 6 B + C = - 22$

$A = - B + 9$

$42 = 27 - 3 B - 6 C$

Passaggio 3.4.2

Somma $6 B$ a entrambi i lati dell'equazione.

$C = - 22 + 6 B$

$A = - B + 9$

$42 = 27 - 3 B - 6 C$

$C = - 22 + 6 B$

$A = - B + 9$

$42 = 27 - 3 B - 6 C$

Passaggio 3.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ con $- 22 + 6 B$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ in $42 = 27 - 3 B - 6 C$ con $- 22 + 6 B$ .

$42 = 27 - 3 B - 6 (- 22 + 6 B)$

$C = - 22 + 6 B$

$A = - B + 9$

Passaggio 3.5.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Semplifica $27 - 3 B - 6 (- 22 + 6 B)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$42 = 27 - 3 B - 6 \cdot - 22 - 6 (6 B)$

$C = - 22 + 6 B$

$A = - B + 9$

Passaggio 3.5.2.1.1.2

Moltiplica $- 6$ per $- 22$ .

$42 = 27 - 3 B + 132 - 6 (6 B)$

$C = - 22 + 6 B$

$A = - B + 9$

Passaggio 3.5.2.1.1.3

Moltiplica $6$ per $- 6$ .

$42 = 27 - 3 B + 132 - 36 B$

$C = - 22 + 6 B$

$A = - B + 9$

$42 = 27 - 3 B + 132 - 36 B$

$C = - 22 + 6 B$

$A = - B + 9$

Passaggio 3.5.2.1.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.2.1

Somma $27$ e $132$ .

$42 = - 3 B + 159 - 36 B$

$C = - 22 + 6 B$

$A = - B + 9$

Passaggio 3.5.2.1.2.2

Sottrai $36 B$ da $- 3 B$ .

$42 = - 39 B + 159$

$C = - 22 + 6 B$

$A = - B + 9$

$42 = - 39 B + 159$

$C = - 22 + 6 B$

$A = - B + 9$

$42 = - 39 B + 159$

$C = - 22 + 6 B$

$A = - B + 9$

$42 = - 39 B + 159$

$C = - 22 + 6 B$

$A = - B + 9$

$42 = - 39 B + 159$

$C = - 22 + 6 B$

$A = - B + 9$

Passaggio 3.6

Risolvi per $B$ in $42 = - 39 B + 159$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Riscrivi l'equazione come $- 39 B + 159 = 42$ .

$- 39 B + 159 = 42$

$C = - 22 + 6 B$

$A = - B + 9$

Passaggio 3.6.2

Sposta tutti i termini non contenenti $B$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.1

Sottrai $159$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 39 B = 42 - 159$

$C = - 22 + 6 B$

$A = - B + 9$

Passaggio 3.6.2.2

Sottrai $159$ da $42$ .

$- 39 B = - 117$

$C = - 22 + 6 B$

$A = - B + 9$

$- 39 B = - 117$

$C = - 22 + 6 B$

$A = - B + 9$

Passaggio 3.6.3

Dividi per $- 39$ ciascun termine in $- 39 B = - 117$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.3.1

Dividi per $- 39$ ciascun termine in $- 39 B = - 117$ .

$\frac{- 39 B}{- 39} = \frac{- 117}{- 39}$

$C = - 22 + 6 B$

$A = - B + 9$

Passaggio 3.6.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 39$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 39 B}{- 39} = \frac{- 117}{- 39}$

$C = - 22 + 6 B$

$A = - B + 9$

Passaggio 3.6.3.2.1.2

Dividi $B$ per $1$ .

$B = \frac{- 117}{- 39}$

$C = - 22 + 6 B$

$A = - B + 9$

$B = \frac{- 117}{- 39}$

$C = - 22 + 6 B$

$A = - B + 9$

$B = \frac{- 117}{- 39}$

$C = - 22 + 6 B$

$A = - B + 9$

Passaggio 3.6.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.3.3.1

Dividi $- 117$ per $- 39$ .

$B = 3$

$C = - 22 + 6 B$

$A = - B + 9$

$B = 3$

$C = - 22 + 6 B$

$A = - B + 9$

$B = 3$

$C = - 22 + 6 B$

$A = - B + 9$

$B = 3$

$C = - 22 + 6 B$

$A = - B + 9$

Passaggio 3.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $3$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $C = - 22 + 6 B$ con $3$ .

$C = - 22 + 6 (3)$

$B = 3$

$A = - B + 9$

Passaggio 3.7.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.1

Semplifica $- 22 + 6 (3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.1.1

Moltiplica $6$ per $3$ .

$C = - 22 + 18$

$B = 3$

$A = - B + 9$

Passaggio 3.7.2.1.2

Somma $- 22$ e $18$ .

$C = - 4$

$B = 3$

$A = - B + 9$

$C = - 4$

$B = 3$

$A = - B + 9$

$C = - 4$

$B = 3$

$A = - B + 9$

Passaggio 3.7.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $A = - B + 9$ con $3$ .

$A = - (3) + 9$

$C = - 4$

$B = 3$

Passaggio 3.7.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.4.1

Semplifica $- (3) + 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.4.1.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$A = - 3 + 9$

$C = - 4$

$B = 3$

Passaggio 3.7.4.1.2

Somma $- 3$ e $9$ .

$A = 6$

$C = - 4$

$B = 3$

$A = 6$

$C = - 4$

$B = 3$

$A = 6$

$C = - 4$

$B = 3$

$A = 6$

$C = - 4$

$B = 3$

Passaggio 3.8

Elenca tutte le soluzioni.

$A = 6, C = - 4, B = 3$

Passaggio 4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{x - 6} + \frac{B x + C}{x^{2} + 3}$ con i valori trovati per $A$ , $B$ e $C$ .

$\frac{6}{x - 6} + \frac{3 x - 4}{x^{2} + 3}$

Passaggio 5

Moltiplica $3$ per $x$ .

$\frac{6}{x - 6} + \frac{3 x - 4}{x^{2} + 3}$