Precalcolo Esempi

$\frac{10 x + 20}{x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 8}$

Passaggio 1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi la frazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Scomponi $10$ da $10 x + 20$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Scomponi $10$ da $10 x$ .

$\frac{10 (x) + 20}{x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 8}$

Passaggio 1.1.1.2

Scomponi $10$ da $20$ .

$\frac{10 x + 10 \cdot 2}{x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 8}$

Passaggio 1.1.1.3

Scomponi $10$ da $10 x + 10 \cdot 2$ .

$\frac{10 (x + 2)}{x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 8}$

Passaggio 1.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{10 (x + 2)}{(x^{3} - 2 x^{2}) - 4 x + 8}$

Passaggio 1.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{10 (x + 2)}{x^{2} (x - 2) - 4 (x - 2)}$

Passaggio 1.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x - 2$ .

$\frac{10 (x + 2)}{(x - 2) (x^{2} - 4)}$

Passaggio 1.1.4

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{10 (x + 2)}{(x - 2) (x^{2} - 2^{2})}$

Passaggio 1.1.5

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$\frac{10 (x + 2)}{(x - 2) ((x + 2) (x - 2))}$

Passaggio 1.1.5.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$\frac{10 (x + 2)}{(x - 2) (x + 2) (x - 2)}$

Passaggio 1.1.6

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Eleva $x - 2$ alla potenza di $1$ .

$\frac{10 (x + 2)}{{(x - 2)}^{1} (x - 2) (x + 2)}$

Passaggio 1.1.6.2

Eleva $x - 2$ alla potenza di $1$ .

$\frac{10 (x + 2)}{{(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{1} (x + 2)}$

Passaggio 1.1.6.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{10 (x + 2)}{{(x - 2)}^{1 + 1} (x + 2)}$

Passaggio 1.1.6.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{10 (x + 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Passaggio 1.1.7

Riduci l'espressione $\frac{10 (x + 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{10 (x + 2)}{{(x - 2)}^{2} (x + 2)}$

Passaggio 1.1.7.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{10}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 1.3

$\frac{A}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{B}{x - 2}$

Passaggio 1.4

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è ${(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{10 {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Passaggio 1.5

Elimina il fattore comune di ${(x - 2)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{10 {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Passaggio 1.5.2

Dividi $10$ per $1$ .

$10 = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Passaggio 1.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Elimina il fattore comune di ${(x - 2)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1.1

Elimina il fattore comune.

$10 = \frac{A {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Passaggio 1.6.1.2

Dividi $A$ per $1$ .

$10 = A + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Passaggio 1.6.2

Elimina il fattore comune di ${(x - 2)}^{2}$ e $x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.2.1

Scomponi $x - 2$ da $(B) {(x - 2)}^{2}$ .

$10 = A + \frac{(x - 2) (B (x - 2))}{x - 2}$

Passaggio 1.6.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.2.2.1

Moltiplica per $1$ .

$10 = A + \frac{(x - 2) (B (x - 2))}{(x - 2) \cdot 1}$

Passaggio 1.6.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$10 = A + \frac{(x - 2) (B (x - 2))}{(x - 2) \cdot 1}$

Passaggio 1.6.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$10 = A + \frac{B (x - 2)}{1}$

Passaggio 1.6.2.2.4

Dividi $B (x - 2)$ per $1$ .

$10 = A + B (x - 2)$

Passaggio 1.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$10 = A + B x + B \cdot - 2$

Passaggio 1.6.4

Sposta $- 2$ alla sinistra di $B$ .

$10 = A + B x - 2 B$

Passaggio 1.7

Riordina $A$ e $B x$ .

$10 = B x + A - 2 B$

Passaggio 2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = B$

Passaggio 2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$10 = A - 2 B$

Passaggio 2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = B$

$10 = A - 2 B$

$0 = B$

$10 = A - 2 B$

Passaggio 3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $B = 0$ .

$B = 0$

$10 = A - 2 B$

Passaggio 3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $0$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $10 = A - 2 B$ con $0$ .

$10 = A - 2 \cdot 0$

$B = 0$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $A - 2 \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$10 = A + 0$

$B = 0$

Passaggio 3.2.2.1.2

Somma $A$ e $0$ .

$10 = A$

$B = 0$

$10 = A$

$B = 0$

$10 = A$

$B = 0$

$10 = A$

$B = 0$

Passaggio 3.3

Riscrivi l'equazione come $A = 10$ .

$A = 10$

$B = 0$

Passaggio 3.4

Risolvi il sistema di equazioni.

$A = 10 B = 0$

Passaggio 3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$A = 10, B = 0$

Passaggio 4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{B}{x - 2}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{10}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{0}{x - 2}$