Precalcolo Esempi

$\frac{- 1}{x^{2} (x^{2} + 4)}$

Passaggio 1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Per ogni fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore è di 2° ordine, sono necessari $2$ termini nel numeratore. Il numero di termini richiesti nel numeratore è sempre uguale all'ordine del fattore nel denominatore.

$\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C x + D}{x^{2} + 4}$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $x^{2} (x^{2} + 4)$ .

$\frac{(- 1) (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2} (x^{2} + 4)} = \frac{A (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Passaggio 1.3

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1 (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2} (x^{2} + 4)} = \frac{A (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Passaggio 1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(- 1) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{A (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $x^{2} + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1 (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{A (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Passaggio 1.4.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- 1 = \frac{A (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Passaggio 1.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1

Elimina il fattore comune.

$- 1 = \frac{A (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Passaggio 1.5.1.2

Dividi $A (x^{2} + 4)$ per $1$ .

$- 1 = A (x^{2} + 4) + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Passaggio 1.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$- 1 = A x^{2} + A \cdot 4 + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Passaggio 1.5.3

Sposta $4$ alla sinistra di $A$ .

$- 1 = A x^{2} + 4 \cdot A + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Passaggio 1.5.4

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1

Scomponi $x$ da $B (x^{2} (x^{2} + 4))$ .

$- 1 = A x^{2} + 4 A + \frac{x (B (x (x^{2} + 4)))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Passaggio 1.5.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 1 = A x^{2} + 4 A + \frac{x (B (x (x^{2} + 4)))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Passaggio 1.5.4.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$- 1 = A x^{2} + 4 A + \frac{x (B (x (x^{2} + 4)))}{x \cdot 1} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Passaggio 1.5.4.2.3

Elimina il fattore comune.

$- 1 = A x^{2} + 4 A + \frac{x (B (x (x^{2} + 4)))}{x \cdot 1} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Passaggio 1.5.4.2.4

Riscrivi l'espressione.

$- 1 = A x^{2} + 4 A + \frac{B (x (x^{2} + 4))}{1} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Passaggio 1.5.4.2.5

Dividi $B (x (x^{2} + 4))$ per $1$ .

$- 1 = A x^{2} + 4 A + B (x (x^{2} + 4)) + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Passaggio 1.5.5

Applica la proprietà distributiva.

$- 1 = A x^{2} + 4 A + B (x \cdot x^{2} + x \cdot 4) + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Passaggio 1.5.6

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.6.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.6.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 1 = A x^{2} + 4 A + B (x \cdot x^{2} + x \cdot 4) + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Passaggio 1.5.6.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 1 = A x^{2} + 4 A + B (x^{1 + 2} + x \cdot 4) + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Passaggio 1.5.6.2

Somma $1$ e $2$ .

$- 1 = A x^{2} + 4 A + B (x^{3} + x \cdot 4) + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Passaggio 1.5.7

Sposta $4$ alla sinistra di $x$ .

$- 1 = A x^{2} + 4 A + B (x^{3} + 4 \cdot x) + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Passaggio 1.5.8

Applica la proprietà distributiva.

$- 1 = A x^{2} + 4 A + B x^{3} + B (4 x) + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Passaggio 1.5.9

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 1 = A x^{2} + 4 A + B x^{3} + 4 B x + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Passaggio 1.5.10

Elimina il fattore comune di $x^{2} + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.10.1

Elimina il fattore comune.

$- 1 = A x^{2} + 4 A + B x^{3} + 4 B x + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Passaggio 1.5.10.2

Dividi $(C x + D) (x^{2})$ per $1$ .

$- 1 = A x^{2} + 4 A + B x^{3} + 4 B x + (C x + D) (x^{2})$

Passaggio 1.5.11

Applica la proprietà distributiva.

$- 1 = A x^{2} + 4 A + B x^{3} + 4 B x + C x \cdot x^{2} + D x^{2}$

Passaggio 1.5.12

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.12.1

Sposta $x^{2}$ .

$- 1 = A x^{2} + 4 A + B x^{3} + 4 B x + C (x^{2} x) + D x^{2}$

Passaggio 1.5.12.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.12.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 1 = A x^{2} + 4 A + B x^{3} + 4 B x + C (x^{2} x) + D x^{2}$

Passaggio 1.5.12.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 1 = A x^{2} + 4 A + B x^{3} + 4 B x + C x^{2 + 1} + D x^{2}$

Passaggio 1.5.12.3

Somma $2$ e $1$ .

$- 1 = A x^{2} + 4 A + B x^{3} + 4 B x + C x^{3} + D x^{2}$

Passaggio 1.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Sposta $B$ .

$- 1 = A x^{2} + 4 A + B x^{3} + 4 x B + C x^{3} + D x^{2}$

Passaggio 1.6.2

Sposta $4 A$ .

$- 1 = A x^{2} + B x^{3} + 4 x B + C x^{3} + D x^{2} + 4 A$

Passaggio 1.6.3

Sposta $4 x B$ .

$- 1 = A x^{2} + B x^{3} + C x^{3} + D x^{2} + 4 x B + 4 A$

Passaggio 1.6.4

Sposta $A x^{2}$ .

$- 1 = B x^{3} + C x^{3} + A x^{2} + D x^{2} + 4 x B + 4 A$

Passaggio 2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x^{3}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = B + C$

Passaggio 2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x^{2}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = A + D$

Passaggio 2.3

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = 4 B$

Passaggio 2.4

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$- 1 = 4 A$

Passaggio 2.5

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = B + C$

$0 = A + D$

$0 = 4 B$

$- 1 = 4 A$

$0 = B + C$

$0 = A + D$

$0 = 4 B$

$- 1 = 4 A$

Passaggio 3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Risolvi per $B$ in $0 = 4 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Riscrivi l'equazione come $4 B = 0$ .

$4 B = 0$

$0 = B + C$

$0 = A + D$

$- 1 = 4 A$

Passaggio 3.1.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 B = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 B = 0$ .

$\frac{4 B}{4} = \frac{0}{4}$

$0 = B + C$

$0 = A + D$

$- 1 = 4 A$

Passaggio 3.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 B}{4} = \frac{0}{4}$

$0 = B + C$

$0 = A + D$

$- 1 = 4 A$

Passaggio 3.1.2.2.1.2

Dividi $B$ per $1$ .

$B = \frac{0}{4}$

$0 = B + C$

$0 = A + D$

$- 1 = 4 A$

$B = \frac{0}{4}$

$0 = B + C$

$0 = A + D$

$- 1 = 4 A$

$B = \frac{0}{4}$

$0 = B + C$

$0 = A + D$

$- 1 = 4 A$

Passaggio 3.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.3.1

Dividi $0$ per $4$ .

$B = 0$

$0 = B + C$

$0 = A + D$

$- 1 = 4 A$

$B = 0$

$0 = B + C$

$0 = A + D$

$- 1 = 4 A$

$B = 0$

$0 = B + C$

$0 = A + D$

$- 1 = 4 A$

$B = 0$

$0 = B + C$

$0 = A + D$

$- 1 = 4 A$

Passaggio 3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $0$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $0 = B + C$ con $0$ .

$0 = (0) + C$

$B = 0$

$0 = A + D$

$- 1 = 4 A$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Somma $0$ e $C$ .

$0 = C$

$B = 0$

$0 = A + D$

$- 1 = 4 A$

$0 = C$

$B = 0$

$0 = A + D$

$- 1 = 4 A$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi l'equazione come $4 A = - 1$ .

$4 A = - 1$

$0 = C$

$B = 0$

$0 = A + D$

Passaggio 3.2.4

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 A = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 A = - 1$ .

$\frac{4 A}{4} = \frac{- 1}{4}$

$0 = C$

$B = 0$

$0 = A + D$

Passaggio 3.2.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 A}{4} = \frac{- 1}{4}$

$0 = C$

$B = 0$

$0 = A + D$

Passaggio 3.2.4.2.1.2

Dividi $A$ per $1$ .

$A = \frac{- 1}{4}$

$0 = C$

$B = 0$

$0 = A + D$

$A = \frac{- 1}{4}$

$0 = C$

$B = 0$

$0 = A + D$

$A = \frac{- 1}{4}$

$0 = C$

$B = 0$

$0 = A + D$

Passaggio 3.2.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = C$

$B = 0$

$0 = A + D$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = C$

$B = 0$

$0 = A + D$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = C$

$B = 0$

$0 = A + D$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = C$

$B = 0$

$0 = A + D$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $- \frac{1}{4}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $C = 0$ .

$C = 0$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = 0$

$0 = A + D$

Passaggio 3.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $0 = A + D$ con $- \frac{1}{4}$ .

$0 = (- \frac{1}{4}) + D$

$C = 0$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = 0$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Rimuovi le parentesi.

$0 = - \frac{1}{4} + D$

$C = 0$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = 0$

$0 = - \frac{1}{4} + D$

$C = 0$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = 0$

$0 = - \frac{1}{4} + D$

$C = 0$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = 0$

Passaggio 3.4

Risolvi per $D$ in $0 = - \frac{1}{4} + D$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'equazione come $- \frac{1}{4} + D = 0$ .

$- \frac{1}{4} + D = 0$

$C = 0$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = 0$

Passaggio 3.4.2

Somma $\frac{1}{4}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$D = \frac{1}{4}$

$C = 0$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = 0$

$D = \frac{1}{4}$

$C = 0$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = 0$

Passaggio 3.5

Risolvi il sistema di equazioni.

$D = \frac{1}{4} C = 0 A = - \frac{1}{4} B = 0$

Passaggio 3.6

Elenca tutte le soluzioni.

$D = \frac{1}{4}, C = 0, A = - \frac{1}{4}, B = 0$

Passaggio 4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C x + D}{x^{2} + 4}$ con i valori trovati per $A$ , $B$ , $C$ e $D$ .

$- \frac{\frac{1}{4}}{x^{2}} + \frac{0}{x} + \frac{0 x + \frac{1}{4}}{x^{2} + 4}$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Moltiplica $0$ per $x$ .

$\frac{- \frac{1}{4}}{x^{2}} + \frac{0}{x} + \frac{0 + \frac{1}{4}}{x^{2} + 4}$

Passaggio 5.2

Somma $0$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{- \frac{1}{4}}{x^{2}} + \frac{0}{x} + \frac{\frac{1}{4}}{x^{2} + 4}$