Precalcolo Esempi

$\frac{27 - 4 x}{x^{3} - 6 x^{2} + 9 x}$

Passaggio 1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi la frazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Scomponi $x$ da $x^{3} - 6 x^{2} + 9 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$\frac{27 - 4 x}{x \cdot x^{2} - 6 x^{2} + 9 x}$

Passaggio 1.1.1.2

Scomponi $x$ da $- 6 x^{2}$ .

$\frac{27 - 4 x}{x \cdot x^{2} + x (- 6 x) + 9 x}$

Passaggio 1.1.1.3

Scomponi $x$ da $9 x$ .

$\frac{27 - 4 x}{x \cdot x^{2} + x (- 6 x) + x \cdot 9}$

Passaggio 1.1.1.4

Scomponi $x$ da $x \cdot x^{2} + x (- 6 x)$ .

$\frac{27 - 4 x}{x (x^{2} - 6 x) + x \cdot 9}$

Passaggio 1.1.1.5

Scomponi $x$ da $x (x^{2} - 6 x) + x \cdot 9$ .

$\frac{27 - 4 x}{x (x^{2} - 6 x + 9)}$

Passaggio 1.1.2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{27 - 4 x}{x (x^{2} - 6 x + 3^{2})}$

Passaggio 1.1.2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Passaggio 1.1.2.3

Riscrivi il polinomio.

$\frac{27 - 4 x}{x (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2})}$

Passaggio 1.1.2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 3$ .

$\frac{27 - 4 x}{x {(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.3

$\frac{A}{x} + \frac{B}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{C}{x - 3}$

Passaggio 1.4

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $x {(x - 3)}^{2}$ .

$\frac{(27 - 4 x) (x {(x - 3)}^{2})}{x {(x - 3)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 3)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Passaggio 1.5

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(27 - 4 x) (x {(x - 3)}^{2})}{x {(x - 3)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 3)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Passaggio 1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(27 - 4 x) ({(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 3)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Passaggio 1.6

Elimina il fattore comune di ${(x - 3)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(27 - 4 x) {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 3)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Passaggio 1.6.2

Dividi $27 - 4 x$ per $1$ .

$27 - 4 x = \frac{A (x {(x - 3)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Passaggio 1.7

Riordina $27$ e $- 4 x$ .

$- 4 x + 27 = \frac{A (x {(x - 3)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Passaggio 1.8

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1.1

Elimina il fattore comune.

$- 4 x + 27 = \frac{A (x {(x - 3)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Passaggio 1.8.1.2

Dividi $A ({(x - 3)}^{2})$ per $1$ .

$- 4 x + 27 = A ({(x - 3)}^{2}) + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Passaggio 1.8.2

Riscrivi ${(x - 3)}^{2}$ come $(x - 3) (x - 3)$ .

$- 4 x + 27 = A ((x - 3) (x - 3)) + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Passaggio 1.8.3

Espandi $(x - 3) (x - 3)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 4 x + 27 = A (x (x - 3) - 3 (x - 3)) + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Passaggio 1.8.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$- 4 x + 27 = A (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)) + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Passaggio 1.8.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$- 4 x + 27 = A (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Passaggio 1.8.4

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.4.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$- 4 x + 27 = A (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Passaggio 1.8.4.1.2

Sposta $- 3$ alla sinistra di $x$ .

$- 4 x + 27 = A (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3) + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Passaggio 1.8.4.1.3

Moltiplica $- 3$ per $- 3$ .

$- 4 x + 27 = A (x^{2} - 3 x - 3 x + 9) + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Passaggio 1.8.4.2

Sottrai $3 x$ da $- 3 x$ .

$- 4 x + 27 = A (x^{2} - 6 x + 9) + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Passaggio 1.8.5

Applica la proprietà distributiva.

$- 4 x + 27 = A x^{2} + A (- 6 x) + A \cdot 9 + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Passaggio 1.8.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.6.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 A x + A \cdot 9 + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Passaggio 1.8.6.2

Sposta $9$ alla sinistra di $A$ .

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 A x + 9 \cdot A + \frac{(B) (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Passaggio 1.8.7

Elimina il fattore comune di ${(x - 3)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.7.1

Elimina il fattore comune.

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 A x + 9 A + \frac{B (x {(x - 3)}^{2})}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Passaggio 1.8.7.2

Dividi $(B) (x)$ per $1$ .

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 A x + 9 A + (B) (x) + \frac{(C) (x {(x - 3)}^{2})}{x - 3}$

Passaggio 1.8.8

Elimina il fattore comune di ${(x - 3)}^{2}$ e $x - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.8.1

Scomponi $x - 3$ da $(C) (x {(x - 3)}^{2})$ .

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 A x + 9 A + B x + \frac{(x - 3) (C (x (x - 3)))}{x - 3}$

Passaggio 1.8.8.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.8.2.1

Moltiplica per $1$ .

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 A x + 9 A + B x + \frac{(x - 3) (C (x (x - 3)))}{(x - 3) \cdot 1}$

Passaggio 1.8.8.2.2

Elimina il fattore comune.

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 A x + 9 A + B x + \frac{(x - 3) (C (x (x - 3)))}{(x - 3) \cdot 1}$

Passaggio 1.8.8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 A x + 9 A + B x + \frac{C (x (x - 3))}{1}$

Passaggio 1.8.8.2.4

Dividi $C (x (x - 3))$ per $1$ .

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 A x + 9 A + B x + C (x (x - 3))$

Passaggio 1.8.9

Applica la proprietà distributiva.

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 A x + 9 A + B x + C (x \cdot x + x \cdot - 3)$

Passaggio 1.8.10

Moltiplica $x$ per $x$ .

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 A x + 9 A + B x + C (x^{2} + x \cdot - 3)$

Passaggio 1.8.11

Sposta $- 3$ alla sinistra di $x$ .

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 A x + 9 A + B x + C (x^{2} - 3 \cdot x)$

Passaggio 1.8.12

Applica la proprietà distributiva.

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 A x + 9 A + B x + C x^{2} + C (- 3 x)$

Passaggio 1.8.13

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 A x + 9 A + B x + C x^{2} - 3 C x$

Passaggio 1.9

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.9.1

Sposta $A$ .

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 x A + 9 A + B x + C x^{2} - 3 C x$

Passaggio 1.9.2

Riordina $B$ e $x$ .

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 x A + 9 A + B x + C x^{2} - 3 C x$

Passaggio 1.9.3

Sposta $9 A$ .

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 x A + B x + C x^{2} - 3 C x + 9 A$

Passaggio 1.9.4

Sposta $B x$ .

$- 4 x + 27 = A x^{2} - 6 x A + C x^{2} + B x - 3 C x + 9 A$

Passaggio 1.9.5

Sposta $- 6 x A$ .

$- 4 x + 27 = A x^{2} + C x^{2} - 6 x A + B x - 3 C x + 9 A$

Passaggio 2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x^{2}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = A + C$

Passaggio 2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

Passaggio 2.3

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$27 = 9 A$

Passaggio 2.4

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = A + C$

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

$27 = 9 A$

$0 = A + C$

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

$27 = 9 A$

Passaggio 3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Risolvi per $A$ in $27 = 9 A$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Riscrivi l'equazione come $9 A = 27$ .

$9 A = 27$

$0 = A + C$

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

Passaggio 3.1.2

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 A = 27$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 A = 27$ .

$\frac{9 A}{9} = \frac{27}{9}$

$0 = A + C$

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

Passaggio 3.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{9 A}{9} = \frac{27}{9}$

$0 = A + C$

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

Passaggio 3.1.2.2.1.2

Dividi $A$ per $1$ .

$A = \frac{27}{9}$

$0 = A + C$

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

$A = \frac{27}{9}$

$0 = A + C$

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

$A = \frac{27}{9}$

$0 = A + C$

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

Passaggio 3.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.3.1

Dividi $27$ per $9$ .

$A = 3$

$0 = A + C$

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

$A = 3$

$0 = A + C$

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

$A = 3$

$0 = A + C$

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

$A = 3$

$0 = A + C$

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

Passaggio 3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $3$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $0 = A + C$ con $3$ .

$0 = (3) + C$

$A = 3$

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$0 = 3 + C$

$A = 3$

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

$0 = 3 + C$

$A = 3$

$- 4 = - 6 A + B - 3 C$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $- 4 = - 6 A + B - 3 C$ con $3$ .

$- 4 = - 6 \cdot 3 + B - 3 C$

$0 = 3 + C$

$A = 3$

Passaggio 3.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Moltiplica $- 6$ per $3$ .

$- 4 = - 18 + B - 3 C$

$0 = 3 + C$

$A = 3$

$- 4 = - 18 + B - 3 C$

$0 = 3 + C$

$A = 3$

$- 4 = - 18 + B - 3 C$

$0 = 3 + C$

$A = 3$

Passaggio 3.3

Risolvi per $C$ in $0 = 3 + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $3 + C = 0$ .

$3 + C = 0$

$- 4 = - 18 + B - 3 C$

$A = 3$

Passaggio 3.3.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$C = - 3$

$- 4 = - 18 + B - 3 C$

$A = 3$

$C = - 3$

$- 4 = - 18 + B - 3 C$

$A = 3$

Passaggio 3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ con $- 3$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ in $- 4 = - 18 + B - 3 C$ con $- 3$ .

$- 4 = - 18 + B - 3 \cdot - 3$

$C = - 3$

$A = 3$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Semplifica $- 18 + B - 3 \cdot - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1

Moltiplica $- 3$ per $- 3$ .

$- 4 = - 18 + B + 9$

$C = - 3$

$A = 3$

Passaggio 3.4.2.1.2

Somma $- 18$ e $9$ .

$- 4 = B - 9$

$C = - 3$

$A = 3$

$- 4 = B - 9$

$C = - 3$

$A = 3$

$- 4 = B - 9$

$C = - 3$

$A = 3$

$- 4 = B - 9$

$C = - 3$

$A = 3$

Passaggio 3.5

Risolvi per $B$ in $- 4 = B - 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Riscrivi l'equazione come $B - 9 = - 4$ .

$B - 9 = - 4$

$C = - 3$

$A = 3$

Passaggio 3.5.2

Sposta tutti i termini non contenenti $B$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Somma $9$ a entrambi i lati dell'equazione.

$B = - 4 + 9$

$C = - 3$

$A = 3$

Passaggio 3.5.2.2

Somma $- 4$ e $9$ .

$B = 5$

$C = - 3$

$A = 3$

$B = 5$

$C = - 3$

$A = 3$

$B = 5$

$C = - 3$

$A = 3$

Passaggio 3.6

Risolvi il sistema di equazioni.

$B = 5 C = - 3 A = 3$

Passaggio 3.7

Elenca tutte le soluzioni.

$B = 5, C = - 3, A = 3$

Passaggio 4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{x} + \frac{B}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{C}{x - 3}$ con i valori trovati per $A$ , $B$ e $C$ .

$\frac{3}{x} + \frac{5}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{- 3}{x - 3}$