Precalcolo Esempi

$\frac{10 x^{2} + 10 x + 3}{(x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}$

Passaggio 1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{x + 1}$

Passaggio 1.2

Per ogni fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore è di 2° ordine, sono necessari $2$ termini nel numeratore. Il numero di termini richiesti nel numeratore è sempre uguale all'ordine del fattore nel denominatore.

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + 3 x + 3}$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $(x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)$ .

$\frac{(10 x^{2} + 10 x + 3) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{(x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)} = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x^{2} + 3 x + 3}$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(10 x^{2} + 10 x + 3) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{(x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)} = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x^{2} + 3 x + 3}$

Passaggio 1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(10 x^{2} + 10 x + 3) (x^{2} + 3 x + 3)}{x^{2} + 3 x + 3} = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x^{2} + 3 x + 3}$

Passaggio 1.5

Elimina il fattore comune di $x^{2} + 3 x + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(10 x^{2} + 10 x + 3) (x^{2} + 3 x + 3)}{x^{2} + 3 x + 3} = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x^{2} + 3 x + 3}$

Passaggio 1.5.2

Dividi $10 x^{2} + 10 x + 3$ per $1$ .

$10 x^{2} + 10 x + 3 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x^{2} + 3 x + 3}$

Passaggio 1.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1.1

Elimina il fattore comune.

$10 x^{2} + 10 x + 3 = \frac{A (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x^{2} + 3 x + 3}$

Passaggio 1.6.1.2

Dividi $(A) (x^{2} + 3 x + 3)$ per $1$ .

$10 x^{2} + 10 x + 3 = (A) (x^{2} + 3 x + 3) + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x^{2} + 3 x + 3}$

Passaggio 1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + A (3 x) + A \cdot 3 + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x^{2} + 3 x + 3}$

Passaggio 1.6.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.3.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + 3 A x + A \cdot 3 + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x^{2} + 3 x + 3}$

Passaggio 1.6.3.2

Sposta $3$ alla sinistra di $A$ .

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + 3 A x + 3 \cdot A + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x^{2} + 3 x + 3}$

Passaggio 1.6.4

Elimina il fattore comune di $x^{2} + 3 x + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + 3 A x + 3 A + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} + 3 x + 3)}{x^{2} + 3 x + 3}$

Passaggio 1.6.4.2

Dividi $(B x + C) (x + 1)$ per $1$ .

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + 3 A x + 3 A + (B x + C) (x + 1)$

Passaggio 1.6.5

Espandi $(B x + C) (x + 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + 3 A x + 3 A + B x (x + 1) + C (x + 1)$

Passaggio 1.6.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + 3 A x + 3 A + B x \cdot x + B x \cdot 1 + C (x + 1)$

Passaggio 1.6.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + 3 A x + 3 A + B x \cdot x + B x \cdot 1 + C x + C \cdot 1$

Passaggio 1.6.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.6.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.6.1.1

Sposta $x$ .

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + 3 A x + 3 A + B (x \cdot x) + B x \cdot 1 + C x + C \cdot 1$

Passaggio 1.6.6.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + 3 A x + 3 A + B x^{2} + B x \cdot 1 + C x + C \cdot 1$

Passaggio 1.6.6.2

Moltiplica $B$ per $1$ .

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + 3 A x + 3 A + B x^{2} + B x + C x + C \cdot 1$

Passaggio 1.6.6.3

Moltiplica $C$ per $1$ .

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + 3 A x + 3 A + B x^{2} + B x + C x + C$

Passaggio 1.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Sposta $A$ .

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + 3 x A + 3 A + B x^{2} + B x + C x + C$

Passaggio 1.7.2

Riordina $B$ e $x^{2}$ .

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + 3 x A + 3 A + B x^{2} + B x + C x + C$

Passaggio 1.7.3

Riordina $B$ e $x$ .

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + 3 x A + 3 A + B x^{2} + B x + C x + C$

Passaggio 1.7.4

Sposta $3 A$ .

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + 3 x A + B x^{2} + B x + C x + 3 A + C$

Passaggio 1.7.5

Sposta $3 x A$ .

$10 x^{2} + 10 x + 3 = A x^{2} + B x^{2} + 3 x A + B x + C x + 3 A + C$

Passaggio 2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x^{2}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$10 = A + B$

Passaggio 2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$10 = 3 A + B + C$

Passaggio 2.3

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$3 = 3 A + C$

Passaggio 2.4

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$10 = A + B$

$10 = 3 A + B + C$

$3 = 3 A + C$

$10 = A + B$

$10 = 3 A + B + C$

$3 = 3 A + C$

Passaggio 3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Risolvi per $A$ in $10 = A + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Riscrivi l'equazione come $A + B = 10$ .

$A + B = 10$

$10 = 3 A + B + C$

$3 = 3 A + C$

Passaggio 3.1.2

Sottrai $B$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = 10 - B$

$10 = 3 A + B + C$

$3 = 3 A + C$

$A = 10 - B$

$10 = 3 A + B + C$

$3 = 3 A + C$

Passaggio 3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $10 - B$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $10 = 3 A + B + C$ con $10 - B$ .

$10 = 3 (10 - B) + B + C$

$A = 10 - B$

$3 = 3 A + C$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $3 (10 - B) + B + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$10 = 3 \cdot 10 + 3 (- B) + B + C$

$A = 10 - B$

$3 = 3 A + C$

Passaggio 3.2.2.1.1.2

Moltiplica $3$ per $10$ .

$10 = 30 + 3 (- B) + B + C$

$A = 10 - B$

$3 = 3 A + C$

Passaggio 3.2.2.1.1.3

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$10 = 30 - 3 B + B + C$

$A = 10 - B$

$3 = 3 A + C$

$10 = 30 - 3 B + B + C$

$A = 10 - B$

$3 = 3 A + C$

Passaggio 3.2.2.1.2

Somma $- 3 B$ e $B$ .

$10 = 30 - 2 B + C$

$A = 10 - B$

$3 = 3 A + C$

$10 = 30 - 2 B + C$

$A = 10 - B$

$3 = 3 A + C$

$10 = 30 - 2 B + C$

$A = 10 - B$

$3 = 3 A + C$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $3 = 3 A + C$ con $10 - B$ .

$3 = 3 (10 - B) + C$

$10 = 30 - 2 B + C$

$A = 10 - B$

Passaggio 3.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 = 3 \cdot 10 + 3 (- B) + C$

$10 = 30 - 2 B + C$

$A = 10 - B$

Passaggio 3.2.4.1.2

Moltiplica $3$ per $10$ .

$3 = 30 + 3 (- B) + C$

$10 = 30 - 2 B + C$

$A = 10 - B$

Passaggio 3.2.4.1.3

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$3 = 30 - 3 B + C$

$10 = 30 - 2 B + C$

$A = 10 - B$

$3 = 30 - 3 B + C$

$10 = 30 - 2 B + C$

$A = 10 - B$

$3 = 30 - 3 B + C$

$10 = 30 - 2 B + C$

$A = 10 - B$

$3 = 30 - 3 B + C$

$10 = 30 - 2 B + C$

$A = 10 - B$

Passaggio 3.3

Riordina $10$ e $- B$ .

$A = - B + 10$

$3 = 30 - 3 B + C$

$10 = 30 - 2 B + C$

Passaggio 3.4

Risolvi per $C$ in $3 = 30 - 3 B + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'equazione come $30 - 3 B + C = 3$ .

$30 - 3 B + C = 3$

$A = - B + 10$

$10 = 30 - 2 B + C$

Passaggio 3.4.2

Sposta tutti i termini non contenenti $C$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Sottrai $30$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 3 B + C = 3 - 30$

$A = - B + 10$

$10 = 30 - 2 B + C$

Passaggio 3.4.2.2

Somma $3 B$ a entrambi i lati dell'equazione.

$C = 3 - 30 + 3 B$

$A = - B + 10$

$10 = 30 - 2 B + C$

Passaggio 3.4.2.3

Sottrai $30$ da $3$ .

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

$10 = 30 - 2 B + C$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

$10 = 30 - 2 B + C$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

$10 = 30 - 2 B + C$

Passaggio 3.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ con $- 27 + 3 B$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ in $10 = 30 - 2 B + C$ con $- 27 + 3 B$ .

$10 = 30 - 2 B - 27 + 3 B$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

Passaggio 3.5.2

Semplifica $10 = 30 - 2 B - 27 + 3 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.1

Rimuovi le parentesi.

$10 = 30 - 2 B - 27 + 3 B$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

$10 = 30 - 2 B - 27 + 3 B$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

Passaggio 3.5.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.1

Semplifica $30 - 2 B - 27 + 3 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.1.1

Sottrai $27$ da $30$ .

$10 = - 2 B + 3 + 3 B$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

Passaggio 3.5.2.2.1.2

Somma $- 2 B$ e $3 B$ .

$10 = B + 3$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

$10 = B + 3$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

$10 = B + 3$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

$10 = B + 3$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

$10 = B + 3$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

Passaggio 3.6

Risolvi per $B$ in $10 = B + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Riscrivi l'equazione come $B + 3 = 10$ .

$B + 3 = 10$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

Passaggio 3.6.2

Sposta tutti i termini non contenenti $B$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.1

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$B = 10 - 3$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

Passaggio 3.6.2.2

Sottrai $3$ da $10$ .

$B = 7$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

$B = 7$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

$B = 7$

$C = - 27 + 3 B$

$A = - B + 10$

Passaggio 3.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $7$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $C = - 27 + 3 B$ con $7$ .

$C = - 27 + 3 (7)$

$B = 7$

$A = - B + 10$

Passaggio 3.7.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.1

Semplifica $- 27 + 3 (7)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.1.1

Moltiplica $3$ per $7$ .

$C = - 27 + 21$

$B = 7$

$A = - B + 10$

Passaggio 3.7.2.1.2

Somma $- 27$ e $21$ .

$C = - 6$

$B = 7$

$A = - B + 10$

$C = - 6$

$B = 7$

$A = - B + 10$

$C = - 6$

$B = 7$

$A = - B + 10$

Passaggio 3.7.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $A = - B + 10$ con $7$ .

$A = - (7) + 10$

$C = - 6$

$B = 7$

Passaggio 3.7.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.4.1

Semplifica $- (7) + 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.4.1.1

Moltiplica $- 1$ per $7$ .

$A = - 7 + 10$

$C = - 6$

$B = 7$

Passaggio 3.7.4.1.2

Somma $- 7$ e $10$ .

$A = 3$

$C = - 6$

$B = 7$

$A = 3$

$C = - 6$

$B = 7$

$A = 3$

$C = - 6$

$B = 7$

$A = 3$

$C = - 6$

$B = 7$

Passaggio 3.8

Elenca tutte le soluzioni.

$A = 3, C = - 6, B = 7$

Passaggio 4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{x + 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + 3 x + 3}$ con i valori trovati per $A$ , $B$ e $C$ .

$\frac{3}{x + 1} + \frac{7 x - 6}{x^{2} + 3 x + 3}$

Passaggio 5

Moltiplica $7$ per $x$ .

$\frac{3}{x + 1} + \frac{7 x - 6}{x^{2} + 3 x + 3}$