Precalcolo Esempi

$x^{2} + 4 x$

Passaggio 1

Scambia le variabili.

$x = y^{2} + 4 y$

Passaggio 2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione come $y^{2} + 4 y = x$ .

$y^{2} + 4 y = x$

Passaggio 2.2

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} + 4 y - x = 0$

Passaggio 2.3

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 2.4

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 4$ e $c = - x$ nella formula quadratica e risolvi per $y$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.1.3

Scomponi $4$ da $16 + 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.3.1

Scomponi $4$ da $16$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 \cdot 4 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.1.3.2

Scomponi $4$ da $4 \cdot 4 + 4 x$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (4 + x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.1.4

Riscrivi $4 (4 + x)$ come $2^{2} (2^{2} + x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.4.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} (4 + x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} (2^{2} + x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2^{2} + x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.1.6

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{4 + x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{4 + x}}{2}$

Passaggio 2.5.3

Semplifica $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{4 + x}}{2}$ .

$y = - 2 \pm \sqrt{4 + x}$

Passaggio 2.6

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.6.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.6.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.6.1.3

Scomponi $4$ da $16 + 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.3.1

Scomponi $4$ da $16$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 \cdot 4 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.6.1.3.2

Scomponi $4$ da $4 \cdot 4 + 4 x$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (4 + x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.6.1.4

Riscrivi $4 (4 + x)$ come $2^{2} (2^{2} + x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.4.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} (4 + x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.6.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} (2^{2} + x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.6.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2^{2} + x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.6.1.6

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{4 + x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.6.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{4 + x}}{2}$

Passaggio 2.6.3

Semplifica $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{4 + x}}{2}$ .

$y = - 2 \pm \sqrt{4 + x}$

Passaggio 2.6.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$y = - 2 + \sqrt{4 + x}$

Passaggio 2.7

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.1.3

Scomponi $4$ da $16 + 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1.3.1

Scomponi $4$ da $16$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 \cdot 4 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.1.3.2

Scomponi $4$ da $4 \cdot 4 + 4 x$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (4 + x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.1.4

Riscrivi $4 (4 + x)$ come $2^{2} (2^{2} + x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1.4.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} (4 + x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} (2^{2} + x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2^{2} + x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.1.6

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{4 + x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{4 + x}}{2}$

Passaggio 2.7.3

Semplifica $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{4 + x}}{2}$ .

$y = - 2 \pm \sqrt{4 + x}$

Passaggio 2.7.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$y = - 2 - \sqrt{4 + x}$

Passaggio 2.8

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$y = - 2 + \sqrt{4 + x}$

$y = - 2 - \sqrt{4 + x}$

$y = - 2 + \sqrt{4 + x}$

$y = - 2 - \sqrt{4 + x}$

Passaggio 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - 2 + \sqrt{4 + x}, - 2 - \sqrt{4 + x}$

Passaggio 4

Verifica se $f^{- 1} (x) = - 2 + \sqrt{4 + x}, - 2 - \sqrt{4 + x}$ è l'inverso di $f (x) = x^{2} + 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Il dominio dell'inverso è l'intervallo della funzione originale e viceversa. Trova il dominio e l'intervallo di $f (x) = x^{2} + 4 x$ e $f^{- 1} (x) = - 2 + \sqrt{4 + x}, - 2 - \sqrt{4 + x}$ e confrontali.

Passaggio 4.2

Trova l'intervallo di $f (x) = x^{2} + 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$[- 4, \infty)$

Passaggio 4.3

Trova il dominio di $- 2 + \sqrt{4 + x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Imposta il radicando in $\sqrt{4 + x}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$4 + x \geq 0$

Passaggio 4.3.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$x \geq - 4$

Passaggio 4.3.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$[- 4, \infty)$

Passaggio 4.4

Trova il dominio di $f (x) = x^{2} + 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

$(- \infty, \infty)$

Passaggio 4.5

Poiché il dominio di $f^{- 1} (x) = - 2 + \sqrt{4 + x}, - 2 - \sqrt{4 + x}$ è l'intervallo di $f (x) = x^{2} + 4 x$ e l'intervallo di $f^{- 1} (x) = - 2 + \sqrt{4 + x}, - 2 - \sqrt{4 + x}$ è il dominio di $f (x) = x^{2} + 4 x$ , allora $f^{- 1} (x) = - 2 + \sqrt{4 + x}, - 2 - \sqrt{4 + x}$ è l'inverso di $f (x) = x^{2} + 4 x$ .

$f^{- 1} (x) = - 2 + \sqrt{4 + x}, - 2 - \sqrt{4 + x}$

Passaggio 5