Precalcolo Esempi

$y = {(5 x^{2} + 3)}^{4}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = 5 x^{2} + 3$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $5 x^{2} + 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5 x^{2} + 3$ .

$4 {(5 x^{2} + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

Passaggio 2

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x^{2} + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$4 {(5 x^{2} + 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{2}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 {(5 x^{2} + 3)}^{3} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 {(5 x^{2} + 3)}^{3} (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [3])$

Passaggio 3.3

Moltiplica $2$ per $5$ .

$4 {(5 x^{2} + 3)}^{3} (10 x + \frac{d}{d x} [3])$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 4.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 {(5 x^{2} + 3)}^{3} (10 x + 0)$

Passaggio 4.2

Somma $10 x$ e $0$ .

$4 {(5 x^{2} + 3)}^{3} (10 x)$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $10$ per $4$ .

$40 {(5 x^{2} + 3)}^{3} x$

Passaggio 5.2

Riordina i fattori di $40 {(5 x^{2} + 3)}^{3} x$ .

$40 x {(5 x^{2} + 3)}^{3}$