Precalcolo Esempi

$256 x^{4} + 768 x^{3} + 864 x^{2} + 432 x + 81$

Passaggio 1

Imposta $256 x^{4} + 768 x^{3} + 864 x^{2} + 432 x + 81$ uguale a $0$ .

$256 x^{4} + 768 x^{3} + 864 x^{2} + 432 x + 81 = 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Scomponi $256 x^{4} + 768 x^{3} + 864 x^{2} + 432 x + 81$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 81, \pm 3, \pm 27, \pm 9$

$q = \pm 1, \pm 256, \pm 2, \pm 128, \pm 4, \pm 64, \pm 8, \pm 32, \pm 16$

Passaggio 2.1.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.00390625, \pm 0.5, \pm 0.0078125, \pm 0.25, \pm 0.015625, \pm 0.125, \pm 0.03125, \pm 0.0625, \pm 81, \pm 0.31640625, \pm 40.5, \pm 0.6328125, \pm 20.25, \pm 1.265625, \pm 10.125, \pm 2.53125, \pm 5.0625, \pm 3, \pm 0.01171875, \pm 1.5, \pm 0.0234375, \pm 0.75, \pm 0.046875, \pm 0.375, \pm 0.09375, \pm 0.1875, \pm 27, \pm 0.10546875, \pm 13.5, \pm 0.2109375, \pm 6.75, \pm 0.421875, \pm 3.375, \pm 0.84375, \pm 1.6875, \pm 9, \pm 0.03515625, \pm 4.5, \pm 0.0703125, \pm 2.25, \pm 0.140625, \pm 1.125, \pm 0.28125, \pm 0.5625$

Passaggio 2.1.1.3

Sostituisci $- 0.75$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 0.75$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.1

Sostituisci $- 0.75$ nel polinomio.

$256 {(- 0.75)}^{4} + 768 {(- 0.75)}^{3} + 864 {(- 0.75)}^{2} + 432 \cdot - 0.75 + 81$

Passaggio 2.1.1.3.2

Eleva $- 0.75$ alla potenza di $4$ .

$256 \cdot 0.31640625 + 768 {(- 0.75)}^{3} + 864 {(- 0.75)}^{2} + 432 \cdot - 0.75 + 81$

Passaggio 2.1.1.3.3

Moltiplica $256$ per $0.31640625$ .

$81 + 768 {(- 0.75)}^{3} + 864 {(- 0.75)}^{2} + 432 \cdot - 0.75 + 81$

Passaggio 2.1.1.3.4

Eleva $- 0.75$ alla potenza di $3$ .

$81 + 768 \cdot - 0.421875 + 864 {(- 0.75)}^{2} + 432 \cdot - 0.75 + 81$

Passaggio 2.1.1.3.5

Moltiplica $768$ per $- 0.421875$ .

$81 - 324 + 864 {(- 0.75)}^{2} + 432 \cdot - 0.75 + 81$

Passaggio 2.1.1.3.6

Sottrai $324$ da $81$ .

$- 243 + 864 {(- 0.75)}^{2} + 432 \cdot - 0.75 + 81$

Passaggio 2.1.1.3.7

Eleva $- 0.75$ alla potenza di $2$ .

$- 243 + 864 \cdot 0.5625 + 432 \cdot - 0.75 + 81$

Passaggio 2.1.1.3.8

Moltiplica $864$ per $0.5625$ .

$- 243 + 486 + 432 \cdot - 0.75 + 81$

Passaggio 2.1.1.3.9

Somma $- 243$ e $486$ .

$243 + 432 \cdot - 0.75 + 81$

Passaggio 2.1.1.3.10

Moltiplica $432$ per $- 0.75$ .

$243 - 324 + 81$

Passaggio 2.1.1.3.11

Sottrai $324$ da $243$ .

$- 81 + 81$

Passaggio 2.1.1.3.12

Somma $- 81$ e $81$ .

$0$

Passaggio 2.1.1.4

Poiché $- 0.75$ è una radice nota, dividi il polinomio per $4 x + 3$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{256 x^{4} + 768 x^{3} + 864 x^{2} + 432 x + 81}{4 x + 3}$

Passaggio 2.1.1.5

Dividi $256 x^{4} + 768 x^{3} + 864 x^{2} + 432 x + 81$ per $4 x + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

Passaggio 2.1.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $256 x^{4}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $4 x$ .

$64 x^{3}$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

Passaggio 2.1.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$64 x^{3}$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

Passaggio 2.1.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $256 x^{4} + 192 x^{3}$

$64 x^{3}$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

Passaggio 2.1.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$64 x^{3}$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

Passaggio 2.1.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$64 x^{3}$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

Passaggio 2.1.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $576 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $4 x$ .

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

Passaggio 2.1.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

$576 x^{3}$

$432 x^{2}$

Passaggio 2.1.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $576 x^{3} + 432 x^{2}$

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

$576 x^{3}$

$432 x^{2}$

Passaggio 2.1.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

$576 x^{3}$

$432 x^{2}$

Passaggio 2.1.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

$576 x^{3}$

$432 x^{2}$

$432 x$

Passaggio 2.1.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $432 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $4 x$ .

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$108 x$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

$576 x^{3}$

$432 x^{2}$

$432 x$

Passaggio 2.1.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$108 x$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

$576 x^{3}$

$432 x^{2}$

$432 x$

$432 x^{2}$

$324 x$

Passaggio 2.1.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $432 x^{2} + 324 x$

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$108 x$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

$576 x^{3}$

$432 x^{2}$

$432 x$

$432 x^{2}$

$324 x$

Passaggio 2.1.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$108 x$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

$576 x^{3}$

$432 x^{2}$

$432 x$

$432 x^{2}$

$324 x$

$108 x$

Passaggio 2.1.1.5.16

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$108 x$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

$576 x^{3}$

$432 x^{2}$

$432 x$

$432 x^{2}$

$324 x$

$108 x$

$81$

Passaggio 2.1.1.5.17

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $108 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $4 x$ .

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$108 x$

$27$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

$576 x^{3}$

$432 x^{2}$

$432 x$

$432 x^{2}$

$324 x$

$108 x$

$81$

Passaggio 2.1.1.5.18

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$108 x$

$27$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

$576 x^{3}$

$432 x^{2}$

$432 x$

$432 x^{2}$

$324 x$

$108 x$

$81$

$108 x$

$81$

Passaggio 2.1.1.5.19

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $108 x + 81$

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$108 x$

$27$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

$576 x^{3}$

$432 x^{2}$

$432 x$

$432 x^{2}$

$324 x$

$108 x$

$81$

$108 x$

$81$

Passaggio 2.1.1.5.20

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$64 x^{3}$

$144 x^{2}$

$108 x$

$27$

$4 x$

$3$

$256 x^{4}$

$768 x^{3}$

$864 x^{2}$

$432 x$

$81$

$256 x^{4}$

$192 x^{3}$

$576 x^{3}$

$864 x^{2}$

$576 x^{3}$

$432 x^{2}$

$432 x$

$432 x^{2}$

$324 x$

$108 x$

$81$

$108 x$

$81$

$0$

Passaggio 2.1.1.5.21

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$64 x^{3} + 144 x^{2} + 108 x + 27$

Passaggio 2.1.1.6

Scrivi $256 x^{4} + 768 x^{3} + 864 x^{2} + 432 x + 81$ come insieme di fattori.

$(4 x + 3) (64 x^{3} + 144 x^{2} + 108 x + 27) = 0$

Passaggio 2.1.2

Raggruppa i termini.

$(4 x + 3) (64 x^{3} + 27 + 144 x^{2} + 108 x) = 0$

Passaggio 2.1.3

Riscrivi $64 x^{3}$ come ${(4 x)}^{3}$ .

$(4 x + 3) ({(4 x)}^{3} + 27 + 144 x^{2} + 108 x) = 0$

Passaggio 2.1.4

Riscrivi $27$ come $3^{3}$ .

$(4 x + 3) ({(4 x)}^{3} + 3^{3} + 144 x^{2} + 108 x) = 0$

Passaggio 2.1.5

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della somma di cubi, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ dove $a = 4 x$ e $b = 3$ .

$(4 x + 3) ((4 x + 3) ({(4 x)}^{2} - 4 x \cdot 3 + 3^{2}) + 144 x^{2} + 108 x) = 0$

Passaggio 2.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.1

Applica la regola del prodotto a $4 x$ .

$(4 x + 3) ((4 x + 3) (4^{2} x^{2} - 4 x \cdot 3 + 3^{2}) + 144 x^{2} + 108 x) = 0$

Passaggio 2.1.6.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$(4 x + 3) ((4 x + 3) (16 x^{2} - 4 x \cdot 3 + 3^{2}) + 144 x^{2} + 108 x) = 0$

Passaggio 2.1.6.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$(4 x + 3) ((4 x + 3) (16 x^{2} - 4 x \cdot 3 + 3^{2}) + 144 x^{2} + 108 x) = 0$

Passaggio 2.1.6.4

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$(4 x + 3) ((4 x + 3) (16 x^{2} - 12 x + 3^{2}) + 144 x^{2} + 108 x) = 0$

Passaggio 2.1.6.5

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$(4 x + 3) ((4 x + 3) (16 x^{2} - 12 x + 9) + 144 x^{2} + 108 x) = 0$

Passaggio 2.1.7

Scomponi $36 x$ da $144 x^{2} + 108 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.7.1

Scomponi $36 x$ da $144 x^{2}$ .

$(4 x + 3) ((4 x + 3) (16 x^{2} - 12 x + 9) + 36 x (4 x) + 108 x) = 0$

Passaggio 2.1.7.2

Scomponi $36 x$ da $108 x$ .

$(4 x + 3) ((4 x + 3) (16 x^{2} - 12 x + 9) + 36 x (4 x) + 36 x (3)) = 0$

Passaggio 2.1.7.3

Scomponi $36 x$ da $36 x (4 x) + 36 x (3)$ .

$(4 x + 3) ((4 x + 3) (16 x^{2} - 12 x + 9) + 36 x (4 x + 3)) = 0$

Passaggio 2.1.8

Scomponi $4 x + 3$ da $(4 x + 3) (16 x^{2} - 12 x + 9) + 36 x (4 x + 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.8.1

Scomponi $4 x + 3$ da $36 x (4 x + 3)$ .

$(4 x + 3) ((4 x + 3) (16 x^{2} - 12 x + 9) + (4 x + 3) (36 x)) = 0$

Passaggio 2.1.8.2

Scomponi $4 x + 3$ da $(4 x + 3) (16 x^{2} - 12 x + 9) + (4 x + 3) (36 x)$ .

$(4 x + 3) ((4 x + 3) (16 x^{2} - 12 x + 9 + 36 x)) = 0$

Passaggio 2.1.9

Somma $- 12 x$ e $36 x$ .

$(4 x + 3) ((4 x + 3) (16 x^{2} + 24 x + 9)) = 0$

Passaggio 2.1.10

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.10.1

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.10.1.1

Riscrivi $16 x^{2}$ come ${(4 x)}^{2}$ .

$(4 x + 3) ((4 x + 3) ({(4 x)}^{2} + 24 x + 9)) = 0$

Passaggio 2.1.10.1.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$(4 x + 3) ((4 x + 3) ({(4 x)}^{2} + 24 x + 3^{2})) = 0$

Passaggio 2.1.10.1.3

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$24 x = 2 \cdot (4 x) \cdot 3$

Passaggio 2.1.10.1.4

Riscrivi il polinomio.

$(4 x + 3) ((4 x + 3) ({(4 x)}^{2} + 2 \cdot (4 x) \cdot 3 + 3^{2})) = 0$

Passaggio 2.1.10.1.5

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = 4 x$ e $b = 3$ .

$(4 x + 3) ((4 x + 3) {(4 x + 3)}^{2}) = 0$

Passaggio 2.1.10.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(4 x + 3) (4 x + 3) {(4 x + 3)}^{2} = 0$

Passaggio 2.1.11

Combina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.11.1

Eleva $4 x + 3$ alla potenza di $1$ .

$(4 x + 3) (4 x + 3) {(4 x + 3)}^{2} = 0$

Passaggio 2.1.11.2

Eleva $4 x + 3$ alla potenza di $1$ .

$(4 x + 3) (4 x + 3) {(4 x + 3)}^{2} = 0$

Passaggio 2.1.11.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${(4 x + 3)}^{1 + 1} {(4 x + 3)}^{2} = 0$

Passaggio 2.1.11.4

Somma $1$ e $1$ .

${(4 x + 3)}^{2} {(4 x + 3)}^{2} = 0$

Passaggio 2.1.11.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${(4 x + 3)}^{2 + 2} = 0$

Passaggio 2.1.11.6

Somma $2$ e $2$ .

${(4 x + 3)}^{4} = 0$

Passaggio 2.2

Poni $4 x + 3$ uguale a $0$ .

$4 x + 3 = 0$

Passaggio 2.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 x = - 3$

Passaggio 2.3.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = - 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = - 3$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 3}{4}$

Passaggio 2.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 3}{4}$

Passaggio 2.3.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 3}{4}$

Passaggio 2.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{3}{4}$

Passaggio 3