Precalcolo Esempi

$4 x^{4} - 28 x^{3} + 47 x^{2} + 7 x - 12$

Passaggio 1

Imposta $4 x^{4} - 28 x^{3} + 47 x^{2} + 7 x - 12$ uguale a $0$ .

$4 x^{4} - 28 x^{3} + 47 x^{2} + 7 x - 12 = 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Raggruppa i termini.

$- 28 x^{3} + 7 x + 4 x^{4} + 47 x^{2} - 12 = 0$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $- 7 x$ da $- 28 x^{3} + 7 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Scomponi $- 7 x$ da $- 28 x^{3}$ .

$- 7 x (4 x^{2}) + 7 x + 4 x^{4} + 47 x^{2} - 12 = 0$

Passaggio 2.1.2.2

Scomponi $- 7 x$ da $7 x$ .

$- 7 x (4 x^{2}) - 7 x \cdot - 1 + 4 x^{4} + 47 x^{2} - 12 = 0$

Passaggio 2.1.2.3

Scomponi $- 7 x$ da $- 7 x (4 x^{2}) - 7 x (- 1)$ .

$- 7 x (4 x^{2} - 1) + 4 x^{4} + 47 x^{2} - 12 = 0$

Passaggio 2.1.3

Riscrivi $4 x^{2}$ come ${(2 x)}^{2}$ .

$- 7 x ({(2 x)}^{2} - 1) + 4 x^{4} + 47 x^{2} - 12 = 0$

Passaggio 2.1.4

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$- 7 x ({(2 x)}^{2} - 1^{2}) + 4 x^{4} + 47 x^{2} - 12 = 0$

Passaggio 2.1.5

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 2 x$ e $b = 1$ .

$- 7 x ((2 x + 1) (2 x - 1)) + 4 x^{4} + 47 x^{2} - 12 = 0$

Passaggio 2.1.5.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 x^{4} + 47 x^{2} - 12 = 0$

Passaggio 2.1.6

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 {(x^{2})}^{2} + 47 x^{2} - 12 = 0$

Passaggio 2.1.7

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} + 47 u - 12 = 0$

Passaggio 2.1.8

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.8.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 4 \cdot - 12 = - 48$ e la cui somma è $b = 47$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.8.1.1

Scomponi $47$ da $47 u$ .

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} + 47 (u) - 12 = 0$

Passaggio 2.1.8.1.2

Riscrivi $47$ come $- 1$ più $48$ .

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} + (- 1 + 48) u - 12 = 0$

Passaggio 2.1.8.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} - 1 u + 48 u - 12 = 0$

Passaggio 2.1.8.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.8.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + 4 u^{2} - 1 u + 48 u - 12 = 0$

Passaggio 2.1.8.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + u (4 u - 1) + 12 (4 u - 1) = 0$

Passaggio 2.1.8.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $4 u - 1$ .

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + (4 u - 1) (u + 12) = 0$

Passaggio 2.1.9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + (4 x^{2} - 1) (x^{2} + 12) = 0$

Passaggio 2.1.10

Riscrivi $4 x^{2}$ come ${(2 x)}^{2}$ .

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + ({(2 x)}^{2} - 1) (x^{2} + 12) = 0$

Passaggio 2.1.11

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + ({(2 x)}^{2} - 1^{2}) (x^{2} + 12) = 0$

Passaggio 2.1.12

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 2 x$ e $b = 1$ .

$- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + (2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} + 12) = 0$

Passaggio 2.1.13

Scomponi $(2 x + 1) (2 x - 1)$ da $- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1) + (2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} + 12)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.13.1

Scomponi $(2 x + 1) (2 x - 1)$ da $- 7 x (2 x + 1) (2 x - 1)$ .

$(2 x + 1) (2 x - 1) (- 7 x) + (2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} + 12) = 0$

Passaggio 2.1.13.2

Scomponi $(2 x + 1) (2 x - 1)$ da $(2 x + 1) (2 x - 1) (- 7 x) + (2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} + 12)$ .

$(2 x + 1) (2 x - 1) (- 7 x + x^{2} + 12) = 0$

Passaggio 2.1.14

Sia $u = x$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x$ con $u$ .

$(2 x + 1) (2 x - 1) (- 7 u + u^{2} + 12) = 0$

Passaggio 2.1.15

Scomponi $- 7 u + u^{2} + 12$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.1.15.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $12$ e la cui somma è $- 7$ .

$- 4, - 3$

Passaggio 2.1.15.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(2 x + 1) (2 x - 1) ((u - 4) (u - 3)) = 0$

Passaggio 2.1.16

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.16.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x$ .

$(2 x + 1) (2 x - 1) ((x - 4) (x - 3)) = 0$

Passaggio 2.1.16.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(2 x + 1) (2 x - 1) (x - 4) (x - 3) = 0$

Passaggio 2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$2 x - 1 = 0$

$x - 4 = 0$

$x - 3 = 0$

Passaggio 2.3

Imposta $2 x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Imposta $2 x + 1$ uguale a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Passaggio 2.3.2

Risolvi $2 x + 1 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = - 1$

Passaggio 2.3.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 1$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 2.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 2.3.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 2.3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1}{2}$

Passaggio 2.4

Imposta $2 x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $2 x - 1$ uguale a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $2 x - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = 1$

Passaggio 2.4.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 1$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 2.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 2.4.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Passaggio 2.5

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 2.5.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 2.6

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 2.6.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 2.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(2 x + 1) (2 x - 1) (x - 4) (x - 3) = 0$ vera.

$x = - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 4, 3$

Passaggio 3