Precalcolo Esempi

$x^{3} + 10 x^{2} - 5 x - 42 = 0$

Passaggio 1

Scomponi $x^{3} + 10 x^{2} - 5 x - 42$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 42, \pm 2, \pm 21, \pm 3, \pm 14, \pm 6, \pm 7$

$q = \pm 1$

Passaggio 1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 42, \pm 2, \pm 21, \pm 3, \pm 14, \pm 6, \pm 7$

Passaggio 1.3

Sostituisci $- 2$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 2$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 1.3.1

Sostituisci $- 2$ nel polinomio.

${(- 2)}^{3} + 10 {(- 2)}^{2} - 5 \cdot - 2 - 42$

Passaggio 1.3.2

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$- 8 + 10 {(- 2)}^{2} - 5 \cdot - 2 - 42$

Passaggio 1.3.3

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$- 8 + 10 \cdot 4 - 5 \cdot - 2 - 42$

Passaggio 1.3.4

Moltiplica $10$ per $4$ .

$- 8 + 40 - 5 \cdot - 2 - 42$

Passaggio 1.3.5

Somma $- 8$ e $40$ .

$32 - 5 \cdot - 2 - 42$

Passaggio 1.3.6

Moltiplica $- 5$ per $- 2$ .

$32 + 10 - 42$

Passaggio 1.3.7

Somma $32$ e $10$ .

$42 - 42$

Passaggio 1.3.8

Sottrai $42$ da $42$ .

$0$

Passaggio 1.4

Poiché $- 2$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 2$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} + 10 x^{2} - 5 x - 42}{x + 2}$

Passaggio 1.5

Dividi $x^{3} + 10 x^{2} - 5 x - 42$ per $x + 2$ .

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Passaggio 1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$10 x^{2}$

$5 x$

$42$

Passaggio 1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$5 x$	-	$42$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$5 x$	-	$42$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Passaggio 1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} + 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$5 x$	-	$42$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Passaggio 1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$5 x$	-	$42$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$

Passaggio 1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$5 x$	-	$42$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$5 x$

Passaggio 1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $8 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$5 x$	-	$42$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$5 x$

Passaggio 1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$5 x$	-	$42$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$

Passaggio 1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $8 x^{2} + 16 x$

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$5 x$	-	$42$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$16 x$

Passaggio 1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$5 x$	-	$42$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$16 x$
							-	$21 x$

Passaggio 1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$5 x$	-	$42$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$16 x$
							-	$21 x$	-	$42$

Passaggio 1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 21 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	+	$8 x$	-	$21$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$5 x$	-	$42$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$16 x$
							-	$21 x$	-	$42$

Passaggio 1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$8 x$	-	$21$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$5 x$	-	$42$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$16 x$
							-	$21 x$	-	$42$
							-	$21 x$	-	$42$

Passaggio 1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 21 x - 42$

				$x^{2}$	+	$8 x$	-	$21$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$5 x$	-	$42$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$16 x$
							-	$21 x$	-	$42$
							+	$21 x$	+	$42$

Passaggio 1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$8 x$	-	$21$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$5 x$	-	$42$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$16 x$
							-	$21 x$	-	$42$
							+	$21 x$	+	$42$
										$0$

Passaggio 1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} + 8 x - 21$

Passaggio 1.6

Scrivi $x^{3} + 10 x^{2} - 5 x - 42$ come insieme di fattori.

$(x + 2) (x^{2} + 8 x - 21) = 0$

Passaggio 2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x^{2} + 8 x - 21 = 0$

Passaggio 3

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 3.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 4

Imposta $x^{2} + 8 x - 21$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Imposta $x^{2} + 8 x - 21$ uguale a $0$ .

$x^{2} + 8 x - 21 = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $x^{2} + 8 x - 21 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 4.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 4.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 8$ e $c = - 21$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 21)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3

Semplifica.

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Passaggio 4.2.3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.2.3.1.1

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot - 21}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 21$ .

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Passaggio 4.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 21}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 21$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 84}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3.1.3

Somma $64$ e $84$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{148}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3.1.4

Riscrivi $148$ come $2^{2} \cdot 37$ .

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Passaggio 4.2.3.1.4.1

Scomponi $4$ da $148$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 (37)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 37}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{37}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{37}}{2}$

Passaggio 4.2.3.3

Semplifica $\frac{- 8 \pm 2 \sqrt{37}}{2}$ .

$x = - 4 \pm \sqrt{37}$

Passaggio 4.2.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - 4 + \sqrt{37}, - 4 - \sqrt{37}$

Passaggio 5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 2) (x^{2} + 8 x - 21) = 0$ vera.

$x = - 2, - 4 + \sqrt{37}, - 4 - \sqrt{37}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = - 2, - 4 + \sqrt{37}, - 4 - \sqrt{37}$

Forma decimale:

$x = - 2, 2.08276253 \dots, - 10.08276253 \dots$

Passaggio 7