Precalcolo Esempi

$\sin (\sin^{-1} (u) - \tan^{-1} (v))$

Passaggio 1

Applica le formule di sottrazione degli angoli.

$\sin (\sin^{-1} (u)) \cos (\tan^{-1} (v)) - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Le funzioni di seno e arcoseno sono inverse.

$u \cos (\tan^{-1} (v)) - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Passaggio 2.1.2

Disegna un triangolo sul piano con i vertici $(1, v)$ , $(1, 0)$ e l'origine. Poi $\tan^{-1} (v)$ è l'angolo tra l'asse x positivo e il raggio che inizia dall'origine e passa attraverso $(1, v)$ . Perciò, $\cos (\tan^{-1} (v))$ è $\frac{1}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ .

$u \frac{1}{\sqrt{1 + v^{2}}} - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Passaggio 2.1.3

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ per $\frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ .

$u (\frac{1}{\sqrt{1 + v^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}}}) - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Passaggio 2.1.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ per $\frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ .

$u \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}} \sqrt{1 + v^{2}}} - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Passaggio 2.1.4.2

Eleva $\sqrt{1 + v^{2}}$ alla potenza di $1$ .

$u \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{1} \sqrt{1 + v^{2}}} - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Passaggio 2.1.4.3

Eleva $\sqrt{1 + v^{2}}$ alla potenza di $1$ .

$u \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + v^{2}}}^{1}} - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Passaggio 2.1.4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$u \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{1 + 1}} - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Passaggio 2.1.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$u \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{2}} - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Passaggio 2.1.4.6

Riscrivi ${\sqrt{1 + v^{2}}}^{2}$ come $1 + v^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{1 + v^{2}}$ come ${(1 + v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$u \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{({(1 + v^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Passaggio 2.1.4.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Passaggio 2.1.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$u \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{\frac{2}{2}}} - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Passaggio 2.1.4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$u \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{\frac{2}{2}}} - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Passaggio 2.1.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$u \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{1}} - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Passaggio 2.1.4.6.5

Semplifica.

$u \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Passaggio 2.1.5

$u$ e $\frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}}$ .

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \cos (\sin^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Passaggio 2.1.6

Disegna un triangolo sul piano con i vertici $(\sqrt{1^{2} - u^{2}}, u)$ , $(\sqrt{1^{2} - u^{2}}, 0)$ e l'origine. Poi $\sin^{-1} (u)$ è l'angolo tra l'asse x positivo e il raggio che inizia dall'origine e passa attraverso $(\sqrt{1^{2} - u^{2}}, u)$ . Perciò, $\cos (\sin^{-1} (u))$ è $\sqrt{1 - u^{2}}$ .

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{1 - u^{2}} \sin (\tan^{-1} (v))$

Passaggio 2.1.7

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{1^{2} - u^{2}} \sin (\tan^{-1} (v))$

Passaggio 2.1.8

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = u$ .

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \sin (\tan^{-1} (v))$

Passaggio 2.1.9

Disegna un triangolo sul piano con i vertici $(1, v)$ , $(1, 0)$ e l'origine. Poi $\tan^{-1} (v)$ è l'angolo tra l'asse x positivo e il raggio che inizia dall'origine e passa attraverso $(1, v)$ . Perciò, $\sin (\tan^{-1} (v))$ è $\frac{v}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ .

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{v}{\sqrt{1 + v^{2}}}$

Passaggio 2.1.10

Moltiplica $\frac{v}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ per $\frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ .

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} (\frac{v}{\sqrt{1 + v^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}}})$

Passaggio 2.1.11

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.11.1

Moltiplica $\frac{v}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ per $\frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ .

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}} \sqrt{1 + v^{2}}}$

Passaggio 2.1.11.2

Eleva $\sqrt{1 + v^{2}}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{1} \sqrt{1 + v^{2}}}$

Passaggio 2.1.11.3

Eleva $\sqrt{1 + v^{2}}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + v^{2}}}^{1}}$

Passaggio 2.1.11.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{1 + 1}}$

Passaggio 2.1.11.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{2}}$

Passaggio 2.1.11.6

Riscrivi ${\sqrt{1 + v^{2}}}^{2}$ come $1 + v^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.11.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{1 + v^{2}}$ come ${(1 + v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{({(1 + v^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.1.11.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.1.11.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.1.11.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.11.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.1.11.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{1}}$

Passaggio 2.1.11.6.5

Semplifica.

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}}$

Passaggio 2.1.12

Moltiplica $- \sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.12.1

$\frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}}$ e $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ .

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \frac{v \sqrt{1 + v^{2}} \sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{1 + v^{2}}$

Passaggio 2.1.12.2

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \frac{v \sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}}$

Passaggio 2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{u \sqrt{1 + v^{2}} - v \sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}}$