Precalcolo Esempi

$4 x^{2} - 4 y^{2} - 4 x + 6 y + 17 = 0$

Passaggio 1

Sottrai $17$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 x^{2} - 4 y^{2} - 4 x + 6 y = - 17$

Passaggio 2

Completa il quadrato per $4 x^{2} - 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

usa la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 4$

$b = - 4$

$c = 0$

Passaggio 2.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 2.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 4}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 4}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (4)}$

Passaggio 2.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 4}$

Passaggio 2.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 2}{4}$

Passaggio 2.3.2.2

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$d = \frac{2 (- 1)}{4}$

Passaggio 2.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 2.3.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$d = - \frac{1}{2}$

Passaggio 2.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Passaggio 2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1

Elimina il fattore comune di ${(- 4)}^{2}$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1.1

Riscrivi $- 4$ come $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 4}$

Passaggio 2.4.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 4}$

Passaggio 2.4.2.1.1.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 4}$

Passaggio 2.4.2.1.1.4

Moltiplica $4^{2}$ per $1$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 4}$

Passaggio 2.4.2.1.1.5

Scomponi $4$ da $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

Passaggio 2.4.2.1.1.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1.6.1

Scomponi $4$ da $4 \cdot 4$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (4)}$

Passaggio 2.4.2.1.1.6.2

Elimina il fattore comune.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

Passaggio 2.4.2.1.1.6.3

Riscrivi l'espressione.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Passaggio 2.4.2.1.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Passaggio 2.4.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Passaggio 2.4.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$e = 0 - 1$

Passaggio 2.4.2.2

Sottrai $1$ da $0$ .

$e = - 1$

Passaggio 2.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella formula del vertice di $4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 1$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 1$

Passaggio 3

Sostituisci $4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 1$ a $4 x^{2} - 4 x$ nell'equazione $4 x^{2} - 4 y^{2} - 4 x + 6 y = - 17$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 1 - 4 y^{2} + 6 y = - 17$

Passaggio 4

Sposta $- 1$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $1$ a entrambi i lati.

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 y^{2} + 6 y = - 17 + 1$

Passaggio 5

Completa il quadrato per $- 4 y^{2} + 6 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

usa la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 4$

$b = 6$

$c = 0$

Passaggio 5.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 5.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{6}{2 \cdot - 4}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $6$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot - 4}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot - 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 (- 4)}$

Passaggio 5.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot - 4}$

Passaggio 5.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{3}{- 4}$

Passaggio 5.3.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$d = - \frac{3}{4}$

Passaggio 5.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{6^{2}}{4 \cdot - 4}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot - 4}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $- 4$ .

$e = 0 - \frac{36}{- 16}$

Passaggio 5.4.2.1.3

Elimina il fattore comune di $36$ e $- 16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.3.1

Scomponi $4$ da $36$ .

$e = 0 - \frac{4 (9)}{- 16}$

Passaggio 5.4.2.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.3.2.1

Scomponi $4$ da $- 16$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 9}{4 \cdot - 4}$

Passaggio 5.4.2.1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 9}{4 \cdot - 4}$

Passaggio 5.4.2.1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$e = 0 - \frac{9}{- 4}$

Passaggio 5.4.2.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e = 0 - - \frac{9}{4}$

Passaggio 5.4.2.1.5

Moltiplica $- - \frac{9}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$e = 0 + 1 (\frac{9}{4})$

Passaggio 5.4.2.1.5.2

Moltiplica $\frac{9}{4}$ per $1$ .

$e = 0 + \frac{9}{4}$

Passaggio 5.4.2.2

Somma $0$ e $\frac{9}{4}$ .

$e = \frac{9}{4}$

Passaggio 5.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella formula del vertice di $- 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} + \frac{9}{4}$ .

$- 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} + \frac{9}{4}$

Passaggio 6

Sostituisci $- 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} + \frac{9}{4}$ a $- 4 y^{2} + 6 y$ nell'equazione $4 x^{2} - 4 y^{2} - 4 x + 6 y = - 17$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} + \frac{9}{4} = - 17 + 1$

Passaggio 7

Sposta $\frac{9}{4}$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $\frac{9}{4}$ a entrambi i lati.

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = - 17 + 1 - \frac{9}{4}$

Passaggio 8

Semplifica $- 17 + 1 - \frac{9}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Scrivi $- 17$ come una frazione con denominatore $1$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{- 17}{1} + 1 - \frac{9}{4}$

Passaggio 8.1.2

Moltiplica $\frac{- 17}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{- 17}{1} \cdot \frac{4}{4} + 1 - \frac{9}{4}$

Passaggio 8.1.3

Moltiplica $\frac{- 17}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{- 17 \cdot 4}{4} + 1 - \frac{9}{4}$

Passaggio 8.1.4

Scrivi $1$ come una frazione con denominatore $1$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{- 17 \cdot 4}{4} + \frac{1}{1} - \frac{9}{4}$

Passaggio 8.1.5

Moltiplica $\frac{1}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{- 17 \cdot 4}{4} + \frac{1}{1} \cdot \frac{4}{4} - \frac{9}{4}$

Passaggio 8.1.6

Moltiplica $\frac{1}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{- 17 \cdot 4}{4} + \frac{4}{4} - \frac{9}{4}$

Passaggio 8.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{- 17 \cdot 4 + 4 - 9}{4}$

Passaggio 8.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Moltiplica $- 17$ per $4$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{- 68 + 4 - 9}{4}$

Passaggio 8.3.2

Somma $- 68$ e $4$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{- 64 - 9}{4}$

Passaggio 8.3.3

Sottrai $9$ da $- 64$ .

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{- 73}{4}$

Passaggio 8.3.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = - \frac{73}{4}$

Passaggio 9

Inverti il segno su ogni termine dell'equazione in modo che il termine sul lato destro sia positivo.

$- 4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + 4 {(y - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{73}{4}$

Passaggio 10

Dividi per $\frac{73}{4}$ ciascun termine per rendere il lato destro uguale a uno.

$- \frac{4 {(x - \frac{1}{2})}^{2}}{\frac{73}{4}} + \frac{4 {(y - \frac{3}{4})}^{2}}{\frac{73}{4}} = \frac{\frac{73}{4}}{\frac{73}{4}}$

Passaggio 11

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{{(y - \frac{3}{4})}^{2}}{\frac{73}{16}} - \frac{{(x - \frac{1}{2})}^{2}}{\frac{73}{16}} = 1$