Precalcolo Esempi

${(x + 5)}^{2} = 24 (y + 1)$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione nella forma del vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Isola $y$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Riscrivi l'equazione come $24 (y + 1) = {(x + 5)}^{2}$ .

$24 (y + 1) = {(x + 5)}^{2}$

Passaggio 1.1.2

Dividi per $24$ ciascun termine in $24 (y + 1) = {(x + 5)}^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Dividi per $24$ ciascun termine in $24 (y + 1) = {(x + 5)}^{2}$ .

$\frac{24 (y + 1)}{24} = \frac{{(x + 5)}^{2}}{24}$

Passaggio 1.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $24$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{24 (y + 1)}{24} = \frac{{(x + 5)}^{2}}{24}$

Passaggio 1.1.2.2.1.2

Dividi $y + 1$ per $1$ .

$y + 1 = \frac{{(x + 5)}^{2}}{24}$

Passaggio 1.1.3

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = \frac{{(x + 5)}^{2}}{24} - 1$

Passaggio 1.1.4

Riordina i termini.

$y = \frac{1}{24} \cdot {(x + 5)}^{2} - 1$

Passaggio 1.2

Completa il quadrato per $\frac{1}{24} \cdot {(x + 5)}^{2} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1.1

Riscrivi ${(x + 5)}^{2}$ come $(x + 5) (x + 5)$ .

$\frac{1}{24} \cdot ((x + 5) (x + 5)) - 1$

Passaggio 1.2.1.1.2

Espandi $(x + 5) (x + 5)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{24} \cdot (x (x + 5) + 5 (x + 5)) - 1$

Passaggio 1.2.1.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{24} \cdot (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 (x + 5)) - 1$

Passaggio 1.2.1.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{24} \cdot (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5) - 1$

Passaggio 1.2.1.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{1}{24} \cdot (x^{2} + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5) - 1$

Passaggio 1.2.1.1.3.1.2

Sposta $5$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{1}{24} \cdot (x^{2} + 5 \cdot x + 5 x + 5 \cdot 5) - 1$

Passaggio 1.2.1.1.3.1.3

Moltiplica $5$ per $5$ .

$\frac{1}{24} \cdot (x^{2} + 5 x + 5 x + 25) - 1$

Passaggio 1.2.1.1.3.2

Somma $5 x$ e $5 x$ .

$\frac{1}{24} \cdot (x^{2} + 10 x + 25) - 1$

Passaggio 1.2.1.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{24} x^{2} + \frac{1}{24} (10 x) + \frac{1}{24} \cdot 25 - 1$

Passaggio 1.2.1.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1.5.1

$\frac{1}{24}$ e $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{24} + \frac{1}{24} (10 x) + \frac{1}{24} \cdot 25 - 1$

Passaggio 1.2.1.1.5.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1.5.2.1

Scomponi $2$ da $24$ .

$\frac{x^{2}}{24} + \frac{1}{2 (12)} (10 x) + \frac{1}{24} \cdot 25 - 1$

Passaggio 1.2.1.1.5.2.2

Scomponi $2$ da $10 x$ .

$\frac{x^{2}}{24} + \frac{1}{2 (12)} (2 (5 x)) + \frac{1}{24} \cdot 25 - 1$

Passaggio 1.2.1.1.5.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2}}{24} + \frac{1}{2 \cdot 12} (2 (5 x)) + \frac{1}{24} \cdot 25 - 1$

Passaggio 1.2.1.1.5.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{2}}{24} + \frac{1}{12} (5 x) + \frac{1}{24} \cdot 25 - 1$

Passaggio 1.2.1.1.5.3

$5$ e $\frac{1}{12}$ .

$\frac{x^{2}}{24} + \frac{5}{12} x + \frac{1}{24} \cdot 25 - 1$

Passaggio 1.2.1.1.5.4

$\frac{5}{12}$ e $x$ .

$\frac{x^{2}}{24} + \frac{5 x}{12} + \frac{1}{24} \cdot 25 - 1$

Passaggio 1.2.1.1.5.5

$\frac{1}{24}$ e $25$ .

$\frac{x^{2}}{24} + \frac{5 x}{12} + \frac{25}{24} - 1$

Passaggio 1.2.1.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{24}{24}$ .

$\frac{x^{2}}{24} + \frac{5 x}{12} + \frac{25}{24} - 1 \cdot \frac{24}{24}$

Passaggio 1.2.1.3

$- 1$ e $\frac{24}{24}$ .

$\frac{x^{2}}{24} + \frac{5 x}{12} + \frac{25}{24} + \frac{- 1 \cdot 24}{24}$

Passaggio 1.2.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x^{2}}{24} + \frac{5 x}{12} + \frac{25 - 1 \cdot 24}{24}$

Passaggio 1.2.1.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $24$ .

$\frac{x^{2}}{24} + \frac{5 x}{12} + \frac{25 - 24}{24}$

Passaggio 1.2.1.5.2

Sottrai $24$ da $25$ .

$\frac{x^{2}}{24} + \frac{5 x}{12} + \frac{1}{24}$

Passaggio 1.2.2

usa la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = \frac{1}{24}$

$b = \frac{5}{12}$

$c = \frac{1}{24}$

Passaggio 1.2.3

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.2.4

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{5}{12}}{2 (\frac{1}{24})}$

Passaggio 1.2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$d = \frac{5}{12} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{24})}$

Passaggio 1.2.4.2.2

$2$ e $\frac{1}{24}$ .

$d = \frac{5}{12} \cdot \frac{1}{\frac{2}{24}}$

Passaggio 1.2.4.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ e $24$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.3.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$d = \frac{5}{12} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{24}}$

Passaggio 1.2.4.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $24$ .

$d = \frac{5}{12} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 12}}$

Passaggio 1.2.4.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{5}{12} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 12}}$

Passaggio 1.2.4.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{5}{12} \cdot \frac{1}{\frac{1}{12}}$

Passaggio 1.2.4.2.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$d = \frac{5}{12} (1 \cdot 12)$

Passaggio 1.2.4.2.5

Elimina il fattore comune di $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.5.1

Scomponi $12$ da $1 \cdot 12$ .

$d = \frac{5}{12} (12 \cdot 1)$

Passaggio 1.2.4.2.5.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{5}{12} (12 \cdot 1)$

Passaggio 1.2.4.2.5.3

Riscrivi l'espressione.

$d = 5$

Passaggio 1.2.5

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{1}{24} - \frac{{(\frac{5}{12})}^{2}}{4 (\frac{1}{24})}$

Passaggio 1.2.5.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.1.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{5}{12}$ .

$e = \frac{1}{24} - \frac{\frac{5^{2}}{12^{2}}}{4 (\frac{1}{24})}$

Passaggio 1.2.5.2.1.1.2

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$e = \frac{1}{24} - \frac{\frac{25}{12^{2}}}{4 (\frac{1}{24})}$

Passaggio 1.2.5.2.1.1.3

Eleva $12$ alla potenza di $2$ .

$e = \frac{1}{24} - \frac{\frac{25}{144}}{4 (\frac{1}{24})}$

Passaggio 1.2.5.2.1.2

$4$ e $\frac{1}{24}$ .

$e = \frac{1}{24} - \frac{\frac{25}{144}}{\frac{4}{24}}$

Passaggio 1.2.5.2.1.3

Elimina il fattore comune di $4$ e $24$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.1.3.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$e = \frac{1}{24} - \frac{\frac{25}{144}}{\frac{4 (1)}{24}}$

Passaggio 1.2.5.2.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.1.3.2.1

Scomponi $4$ da $24$ .

$e = \frac{1}{24} - \frac{\frac{25}{144}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 6}}$

Passaggio 1.2.5.2.1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$e = \frac{1}{24} - \frac{\frac{25}{144}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 6}}$

Passaggio 1.2.5.2.1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$e = \frac{1}{24} - \frac{\frac{25}{144}}{\frac{1}{6}}$

Passaggio 1.2.5.2.1.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$e = \frac{1}{24} - (\frac{25}{144} \cdot 6)$

Passaggio 1.2.5.2.1.5

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.1.5.1

Scomponi $6$ da $144$ .

$e = \frac{1}{24} - (\frac{25}{6 (24)} \cdot 6)$

Passaggio 1.2.5.2.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$e = \frac{1}{24} - (\frac{25}{6 \cdot 24} \cdot 6)$

Passaggio 1.2.5.2.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$e = \frac{1}{24} - \frac{25}{24}$

Passaggio 1.2.5.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$e = \frac{1 - 25}{24}$

Passaggio 1.2.5.2.3

Sottrai $25$ da $1$ .

$e = \frac{- 24}{24}$

Passaggio 1.2.5.2.4

Dividi $- 24$ per $24$ .

$e = - 1$

Passaggio 1.2.6

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella formula del vertice di $\frac{1}{24} {(x + 5)}^{2} - 1$ .

$\frac{1}{24} {(x + 5)}^{2} - 1$

Passaggio 1.3

Imposta $y$ uguale al nuovo lato destro.

$y = \frac{1}{24} \cdot {(x + 5)}^{2} - 1$

Passaggio 2

Usa la forma di vertice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , per determinare i valori di $a$ , $h$ e $k$ .

$a = \frac{1}{24}$

$h = - 5$

$k = - 1$

Passaggio 3

Poiché il valore di $a$ è positivo, la parabola si apre in alto.

Si apre in alto

Passaggio 4

Trova il vertice $(h, k)$ .

$(- 5, - 1)$

Passaggio 5

Trova $p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola usando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 5.2

Sostituisci il valore di $a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{24}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

$4$ e $\frac{1}{24}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{24}}$

Passaggio 5.3.2

Elimina il fattore comune di $4$ e $24$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$\frac{1}{\frac{4 (1)}{24}}$

Passaggio 5.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Scomponi $4$ da $24$ .

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 6}}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 6}}$

Passaggio 5.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\frac{1}{6}}$

Passaggio 5.3.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$1 \cdot 6$

Passaggio 5.3.4

Moltiplica $6$ per $1$ .

$6$

Passaggio 6

Trova il fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando $p$ alla coordinata y $k$ se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$(h, k + p)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- 5, 5)$

Passaggio 7

Individua l'asse di simmetria trovando la retta che passa per il vertice e il fuoco.

$x = - 5$

Passaggio 8

Trova la direttrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

La direttrice di una parabola è la retta orizzontale trovata sottraendo $p$ dalla coordinata y $k$ del vertice se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$y = k - p$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori noti di $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$y = - 7$

Passaggio 9

Usa le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: si apre in alto

Vertice: $(- 5, - 1)$

Fuoco: $(- 5, 5)$

Asse di simmetria: $x = - 5$

Direttrice: $y = - 7$

Passaggio 10