Precalcolo Esempi

${(x + 3)}^{2} = - 2 (y - 1)$

Passaggio 1

Isola $y$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 1.1

Riscrivi l'equazione come $- 2 (y - 1) = {(x + 3)}^{2}$ .

$- 2 (y - 1) = {(x + 3)}^{2}$

Passaggio 1.2

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 (y - 1) = {(x + 3)}^{2}$ e semplifica.

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Passaggio 1.2.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 (y - 1) = {(x + 3)}^{2}$ .

$\frac{- 2 (y - 1)}{- 2} = \frac{{(x + 3)}^{2}}{- 2}$

Passaggio 1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

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Passaggio 1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 (y - 1)}{- 2} = \frac{{(x + 3)}^{2}}{- 2}$

Passaggio 1.2.2.1.2

Dividi $y - 1$ per $1$ .

$y - 1 = \frac{{(x + 3)}^{2}}{- 2}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y - 1 = - \frac{{(x + 3)}^{2}}{2}$

Passaggio 1.3

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = - \frac{{(x + 3)}^{2}}{2} + 1$

Passaggio 1.4

Riordina i termini.

$y = - \frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{2} + 1$

Passaggio 2

Usa la forma di vertice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , per determinare i valori di $a$ , $h$ e $k$ .

$a = - \frac{1}{2}$

$h = - 3$

$k = 1$

Passaggio 3

Poiché il valore di $a$ è negativo, la parabola si apre in basso.

Si apre in basso

Passaggio 4

Trova il vertice $(h, k)$ .

$(- 3, 1)$

Passaggio 5

Trova $p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

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Passaggio 5.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola usando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 5.2

Sostituisci il valore di $a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

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Passaggio 5.3.1

Elimina il fattore comune di $1$ e $- 1$ .

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Passaggio 5.3.1.1

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

Passaggio 5.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

Passaggio 5.3.2

$4$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{2}}$

Passaggio 5.3.3

Dividi $4$ per $2$ .

$- \frac{1}{2}$

Passaggio 6

Trova il fuoco.

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Passaggio 6.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando $p$ alla coordinata y $k$ se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$(h, k + p)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- 3, \frac{1}{2})$

Passaggio 7

Individua l'asse di simmetria trovando la retta che passa per il vertice e il fuoco.

$x = - 3$

Passaggio 8

Trova la direttrice.

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Passaggio 8.1

La direttrice di una parabola è la retta orizzontale trovata sottraendo $p$ dalla coordinata y $k$ del vertice se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$y = k - p$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori noti di $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$y = \frac{3}{2}$

Passaggio 9

Usa le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: si apre in basso

Vertice: $(- 3, 1)$

Fuoco: $(- 3, \frac{1}{2})$

Asse di simmetria: $x = - 3$

Direttrice: $y = \frac{3}{2}$

Passaggio 10