Precalcolo Esempi

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{16} - \frac{{(x - 2)}^{2}}{25} = 1$

Passaggio 1

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{16} - \frac{{(x - 2)}^{2}}{25} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'iperbole. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare i vertici e gli asintoti dell'iperbole.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa iperbole a quelli della forma standard. La variabile $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine, $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine, $a$ .

$a = 4$

$b = 5$

$k = 3$

$h = 2$

Passaggio 4

Il centro di un'iperbole segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci i valori di $h$ e $k$ .

$(2, 3)$

Passaggio 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'iperbole usando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(4)}^{2} + {(5)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{16 + {(5)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{16 + 25}$

Passaggio 5.3.3

Somma $16$ e $25$ .

$\sqrt{41}$

Passaggio 6

Trova i vertici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'iperbole sommando $a$ a $k$ .

$(h, k + a)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(2, 7)$

Passaggio 6.3

Si può trovare il secondo vertice di un'iperbole sottraendo $a$ da $k$ .

$(h, k - a)$

Passaggio 6.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(2, - 1)$

Passaggio 6.5

I vertici di un'iperbole seguono la forma di $(h, k \pm a)$ . Le iperboli hanno due vertici.

$(2, 7), (2, - 1)$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'iperbole sommando $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(2, 3 + \sqrt{41})$

Passaggio 7.3

Si può trovare il secondo fuoco di un'iperbole sottraendo $c$ da $k$ .

$(h, k - c)$

Passaggio 7.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(2, 3 - \sqrt{41})$

Passaggio 7.5

I fuochi di un'iperbole seguono la forma di $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Le iperboli hanno due fuochi.

$(2, 3 + \sqrt{41}), (2, 3 - \sqrt{41})$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\frac{\sqrt{{(4)}^{2} + {(5)}^{2}}}{4}$

Passaggio 8.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 5^{2}}}{4}$

Passaggio 8.3.2

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 25}}{4}$

Passaggio 8.3.3

Somma $16$ e $25$ .

$\frac{\sqrt{41}}{4}$

Passaggio 9

Trova l'asse focale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Trova il valore dell'asse focale dell'iperbole usando la seguente formula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Passaggio 9.2

Sostituisci i valori di $b$ e $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ nella formula.

$\frac{5^{2}}{\sqrt{41}}$

Passaggio 9.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\frac{25}{\sqrt{41}}$

Passaggio 9.3.2

Moltiplica $\frac{25}{\sqrt{41}}$ per $\frac{\sqrt{41}}{\sqrt{41}}$ .

$\frac{25}{\sqrt{41}} \cdot \frac{\sqrt{41}}{\sqrt{41}}$

Passaggio 9.3.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.1

Moltiplica $\frac{25}{\sqrt{41}}$ per $\frac{\sqrt{41}}{\sqrt{41}}$ .

$\frac{25 \sqrt{41}}{\sqrt{41} \sqrt{41}}$

Passaggio 9.3.3.2

Eleva $\sqrt{41}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{25 \sqrt{41}}{{\sqrt{41}}^{1} \sqrt{41}}$

Passaggio 9.3.3.3

Eleva $\sqrt{41}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{25 \sqrt{41}}{{\sqrt{41}}^{1} {\sqrt{41}}^{1}}$

Passaggio 9.3.3.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{25 \sqrt{41}}{{\sqrt{41}}^{1 + 1}}$

Passaggio 9.3.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{25 \sqrt{41}}{{\sqrt{41}}^{2}}$

Passaggio 9.3.3.6

Riscrivi ${\sqrt{41}}^{2}$ come $41$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{41}$ come $41^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{25 \sqrt{41}}{{(41^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 9.3.3.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{25 \sqrt{41}}{41^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 9.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{25 \sqrt{41}}{41^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 9.3.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{25 \sqrt{41}}{41^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 9.3.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{25 \sqrt{41}}{41^{1}}$

Passaggio 9.3.3.6.5

Calcola l'esponente.

$\frac{25 \sqrt{41}}{41}$

Passaggio 10

Gli asintoti seguono la forma $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ perché questa iperbole sia apre in alto e in basso.

$y = \pm \frac{4}{5} \cdot (x - (2)) + 3$

Passaggio 11

Semplifica per trovare il primo asintoto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Rimuovi le parentesi.

$y = \frac{4}{5} \cdot (x - (2)) + 3$

Passaggio 11.2

Semplifica $\frac{4}{5} \cdot (x - (2)) + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$y = \frac{4}{5} \cdot (x - 2) + 3$

Passaggio 11.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{4}{5} x + \frac{4}{5} \cdot - 2 + 3$

Passaggio 11.2.1.3

$\frac{4}{5}$ e $x$ .

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{4}{5} \cdot - 2 + 3$

Passaggio 11.2.1.4

Moltiplica $\frac{4}{5} \cdot - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.4.1

$\frac{4}{5}$ e $- 2$ .

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{4 \cdot - 2}{5} + 3$

Passaggio 11.2.1.4.2

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{- 8}{5} + 3$

Passaggio 11.2.1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{4 x}{5} - \frac{8}{5} + 3$

Passaggio 11.2.2

Per scrivere $3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{4 x}{5} - \frac{8}{5} + 3 \cdot \frac{5}{5}$

Passaggio 11.2.3

$3$ e $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{4 x}{5} - \frac{8}{5} + \frac{3 \cdot 5}{5}$

Passaggio 11.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{- 8 + 3 \cdot 5}{5}$

Passaggio 11.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.5.1

Moltiplica $3$ per $5$ .

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{- 8 + 15}{5}$

Passaggio 11.2.5.2

Somma $- 8$ e $15$ .

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{7}{5}$

Passaggio 12

Semplifica per trovare il secondo asintoto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Rimuovi le parentesi.

$y = - \frac{4}{5} \cdot (x - (2)) + 3$

Passaggio 12.2

Semplifica $- \frac{4}{5} \cdot (x - (2)) + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$y = - \frac{4}{5} \cdot (x - 2) + 3$

Passaggio 12.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = - \frac{4}{5} x - \frac{4}{5} \cdot - 2 + 3$

Passaggio 12.2.1.3

$x$ e $\frac{4}{5}$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{5} - \frac{4}{5} \cdot - 2 + 3$

Passaggio 12.2.1.4

Moltiplica $- \frac{4}{5} \cdot - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.4.1

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{5} + 2 (\frac{4}{5}) + 3$

Passaggio 12.2.1.4.2

$2$ e $\frac{4}{5}$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{5} + \frac{2 \cdot 4}{5} + 3$

Passaggio 12.2.1.4.3

Moltiplica $2$ per $4$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{5} + \frac{8}{5} + 3$

Passaggio 12.2.1.5

Sposta $4$ alla sinistra di $x$ .

$y = - \frac{4 x}{5} + \frac{8}{5} + 3$

Passaggio 12.2.2

Per scrivere $3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$y = - \frac{4 x}{5} + \frac{8}{5} + 3 \cdot \frac{5}{5}$

Passaggio 12.2.3

$3$ e $\frac{5}{5}$ .

$y = - \frac{4 x}{5} + \frac{8}{5} + \frac{3 \cdot 5}{5}$

Passaggio 12.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = - \frac{4 x}{5} + \frac{8 + 3 \cdot 5}{5}$

Passaggio 12.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.5.1

Moltiplica $3$ per $5$ .

$y = - \frac{4 x}{5} + \frac{8 + 15}{5}$

Passaggio 12.2.5.2

Somma $8$ e $15$ .

$y = - \frac{4 x}{5} + \frac{23}{5}$

Passaggio 13

Questa iperbole ha due asintoti.

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{7}{5}, y = - \frac{4 x}{5} + \frac{23}{5}$

Passaggio 14

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'iperbole.

Centro: $(2, 3)$

Vertici: $(2, 7), (2, - 1)$

Fuochi: $(2, 3 + \sqrt{41}), (2, 3 - \sqrt{41})$

Eccentricità: $\frac{\sqrt{41}}{4}$

Asse focale: $\frac{25 \sqrt{41}}{41}$

Asintoti: $y = \frac{4 x}{5} + \frac{7}{5}$ , $y = - \frac{4 x}{5} + \frac{23}{5}$

Passaggio 15