Precalcolo Esempi

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{9} - \frac{{(x + 4)}^{2}}{16} = 1$

Passaggio 1

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{9} - \frac{{(x + 4)}^{2}}{16} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'iperbole. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare i vertici e gli asintoti dell'iperbole.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa iperbole a quelli della forma standard. La variabile $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine, $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine, $a$ .

$a = 3$

$b = 4$

$k = - 1$

$h = - 4$

Passaggio 4

Il centro di un'iperbole segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci i valori di $h$ e $k$ .

$(- 4, - 1)$

Passaggio 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'iperbole usando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(3)}^{2} + {(4)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{9 + {(4)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{9 + 16}$

Passaggio 5.3.3

Somma $9$ e $16$ .

$\sqrt{25}$

Passaggio 5.3.4

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$\sqrt{5^{2}}$

Passaggio 5.3.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$5$

Passaggio 6

Trova i vertici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'iperbole sommando $a$ a $k$ .

$(h, k + a)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- 4, 2)$

Passaggio 6.3

Si può trovare il secondo vertice di un'iperbole sottraendo $a$ da $k$ .

$(h, k - a)$

Passaggio 6.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- 4, - 4)$

Passaggio 6.5

I vertici di un'iperbole seguono la forma di $(h, k \pm a)$ . Le iperboli hanno due vertici.

$(- 4, 2), (- 4, - 4)$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'iperbole sommando $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- 4, 4)$

Passaggio 7.3

Si può trovare il secondo fuoco di un'iperbole sottraendo $c$ da $k$ .

$(h, k - c)$

Passaggio 7.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- 4, - 6)$

Passaggio 7.5

I fuochi di un'iperbole seguono la forma di $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Le iperboli hanno due fuochi.

$(- 4, 4), (- 4, - 6)$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\frac{\sqrt{{(3)}^{2} + {(4)}^{2}}}{3}$

Passaggio 8.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + 4^{2}}}{3}$

Passaggio 8.3.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + 16}}{3}$

Passaggio 8.3.3

Somma $9$ e $16$ .

$\frac{\sqrt{25}}{3}$

Passaggio 8.3.4

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2}}}{3}$

Passaggio 8.3.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{5}{3}$

Passaggio 9

Trova l'asse focale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Trova il valore dell'asse focale dell'iperbole usando la seguente formula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Passaggio 9.2

Sostituisci i valori di $b$ e $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ nella formula.

$\frac{4^{2}}{5}$

Passaggio 9.3

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\frac{16}{5}$

Passaggio 10

Gli asintoti seguono la forma $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ perché questa iperbole sia apre in alto e in basso.

$y = \pm \frac{3}{4} \cdot (x - (- 4)) - 1$

Passaggio 11

Semplifica per trovare il primo asintoto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Rimuovi le parentesi.

$y = \frac{3}{4} \cdot (x - (- 4)) - 1$

Passaggio 11.2

Semplifica $\frac{3}{4} \cdot (x - (- 4)) - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$y = \frac{3}{4} \cdot (x + 4) - 1$

Passaggio 11.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot 4 - 1$

Passaggio 11.2.1.3

$\frac{3}{4}$ e $x$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot 4 - 1$

Passaggio 11.2.1.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot 4 - 1$

Passaggio 11.2.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{3 x}{4} + 3 - 1$

Passaggio 11.2.2

Sottrai $1$ da $3$ .

$y = \frac{3 x}{4} + 2$

Passaggio 12

Semplifica per trovare il secondo asintoto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Rimuovi le parentesi.

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x - (- 4)) - 1$

Passaggio 12.2

Semplifica $- \frac{3}{4} \cdot (x - (- 4)) - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x + 4) - 1$

Passaggio 12.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = - \frac{3}{4} x - \frac{3}{4} \cdot 4 - 1$

Passaggio 12.2.1.3

$x$ e $\frac{3}{4}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} - \frac{3}{4} \cdot 4 - 1$

Passaggio 12.2.1.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{3}{4}$ nel numeratore.

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 3}{4} \cdot 4 - 1$

Passaggio 12.2.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 3}{4} \cdot 4 - 1$

Passaggio 12.2.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} - 3 - 1$

Passaggio 12.2.1.5

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$y = - \frac{3 x}{4} - 3 - 1$

Passaggio 12.2.2

Sottrai $1$ da $- 3$ .

$y = - \frac{3 x}{4} - 4$

Passaggio 13

Questa iperbole ha due asintoti.

$y = \frac{3 x}{4} + 2, y = - \frac{3 x}{4} - 4$

Passaggio 14

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'iperbole.

Centro: $(- 4, - 1)$

Vertici: $(- 4, 2), (- 4, - 4)$

Fuochi: $(- 4, 4), (- 4, - 6)$

Eccentricità: $\frac{5}{3}$

Asse focale: $\frac{16}{5}$

Asintoti: $y = \frac{3 x}{4} + 2$ , $y = - \frac{3 x}{4} - 4$

Passaggio 15