Precalcolo Esempi

$y^{2} + 6 y - 2 x - 3 = 0$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione nella forma del vertice.

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Passaggio 1.1

Isola $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 1.1.1

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 1.1.1.1

Sottrai $y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$6 y - 2 x - 3 = - y^{2}$

Passaggio 1.1.1.2

Sottrai $6 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 x - 3 = - y^{2} - 6 y$

Passaggio 1.1.1.3

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 x = - y^{2} - 6 y + 3$

Passaggio 1.1.2

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x = - y^{2} - 6 y + 3$ e semplifica.

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Passaggio 1.1.2.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x = - y^{2} - 6 y + 3$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- y^{2}}{- 2} + \frac{- 6 y}{- 2} + \frac{3}{- 2}$

Passaggio 1.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- y^{2}}{- 2} + \frac{- 6 y}{- 2} + \frac{3}{- 2}$

Passaggio 1.1.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- y^{2}}{- 2} + \frac{- 6 y}{- 2} + \frac{3}{- 2}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.2.3.1.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$x = \frac{y^{2}}{2} + \frac{- 6 y}{- 2} + \frac{3}{- 2}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2

Elimina il fattore comune di $- 6$ e $- 2$ .

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Passaggio 1.1.2.3.1.2.1

Scomponi $- 2$ da $- 6 y$ .

$x = \frac{y^{2}}{2} + \frac{- 2 (3 y)}{- 2} + \frac{3}{- 2}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 1.1.2.3.1.2.2.1

Scomponi $- 2$ da $- 2$ .

$x = \frac{y^{2}}{2} + \frac{- 2 (3 y)}{- 2 (1)} + \frac{3}{- 2}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{y^{2}}{2} + \frac{- 2 (3 y)}{- 2 \cdot 1} + \frac{3}{- 2}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{y^{2}}{2} + \frac{3 y}{1} + \frac{3}{- 2}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2.2.4

Dividi $3 y$ per $1$ .

$x = \frac{y^{2}}{2} + 3 y + \frac{3}{- 2}$

Passaggio 1.1.2.3.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = \frac{y^{2}}{2} + 3 y - \frac{3}{2}$

Passaggio 1.2

Completa il quadrato per $\frac{y^{2}}{2} + 3 y - \frac{3}{2}$ .

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Passaggio 1.2.1

usa la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = \frac{1}{2}$

$b = 3$

$c = - \frac{3}{2}$

Passaggio 1.2.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.2.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Passaggio 1.2.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{3}{2 (\frac{1}{2})}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.2.3.2.1

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{3}{\frac{2}{2}}$

Passaggio 1.2.3.2.2

Dividi $2$ per $2$ .

$d = \frac{3}{1}$

Passaggio 1.2.3.2.3

Dividi $3$ per $1$ .

$d = 3$

Passaggio 1.2.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Passaggio 1.2.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - \frac{3}{2} - \frac{3^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Passaggio 1.2.4.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.2.4.2.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$e = - \frac{3}{2} - \frac{9}{4 (\frac{1}{2})}$

Passaggio 1.2.4.2.1.2

$4$ e $\frac{1}{2}$ .

$e = - \frac{3}{2} - \frac{9}{\frac{4}{2}}$

Passaggio 1.2.4.2.1.3

Dividi $4$ per $2$ .

$e = - \frac{3}{2} - \frac{9}{2}$

Passaggio 1.2.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$e = \frac{- 3 - 9}{2}$

Passaggio 1.2.4.2.3

Sottrai $9$ da $- 3$ .

$e = \frac{- 12}{2}$

Passaggio 1.2.4.2.4

Dividi $- 12$ per $2$ .

$e = - 6$

Passaggio 1.2.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella formula del vertice di $\frac{1}{2} {(y + 3)}^{2} - 6$ .

$\frac{1}{2} {(y + 3)}^{2} - 6$

Passaggio 1.3

Imposta $x$ uguale al nuovo lato destro.

$x = \frac{1}{2} \cdot {(y + 3)}^{2} - 6$

Passaggio 2

Usa la forma di vertice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , per determinare i valori di $a$ , $h$ e $k$ .

$a = \frac{1}{2}$

$h = - 6$

$k = - 3$

Passaggio 3

Poiché il valore di $a$ è positivo, la parabola si apre a destra.

Si apre a destra

Passaggio 4

Trova il vertice $(h, k)$ .

$(- 6, - 3)$

Passaggio 5

Trova $p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

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Passaggio 5.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola usando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 5.2

Sostituisci il valore di $a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

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Passaggio 5.3.1

$4$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{2}}$

Passaggio 5.3.2

Dividi $4$ per $2$ .

$\frac{1}{2}$

Passaggio 6

Trova il fuoco.

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Passaggio 6.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando $p$ alla coordinata x $h$ se la parabola è rivolta verso sinistra o destra.

$(h + p, k)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- \frac{11}{2}, - 3)$

Passaggio 7

Individua l'asse di simmetria trovando la retta che passa per il vertice e il fuoco.

$y = - 3$

Passaggio 8