Precalcolo Esempi

$f (x) = x^{4} - 3 x^{3} - 9 x^{2} + 15 x + 20$

Passaggio 1

Trova le intercette di x.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Per trovare l'intercetta di x, sostituisci $y$ con $0$ e risolvi per $x$ .

$0 = x^{4} - 3 x^{3} - 9 x^{2} + 15 x + 20$

Passaggio 1.2

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Riscrivi l'equazione come $x^{4} - 3 x^{3} - 9 x^{2} + 15 x + 20 = 0$ .

$x^{4} - 3 x^{3} - 9 x^{2} + 15 x + 20 = 0$

Passaggio 1.2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Raggruppa i termini.

$- 3 x^{3} + 15 x + x^{4} - 9 x^{2} + 20 = 0$

Passaggio 1.2.2.2

Scomponi $- 3 x$ da $- 3 x^{3} + 15 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1

Scomponi $- 3 x$ da $- 3 x^{3}$ .

$- 3 x \cdot x^{2} + 15 x + x^{4} - 9 x^{2} + 20 = 0$

Passaggio 1.2.2.2.2

Scomponi $- 3 x$ da $15 x$ .

$- 3 x \cdot x^{2} - 3 x \cdot - 5 + x^{4} - 9 x^{2} + 20 = 0$

Passaggio 1.2.2.2.3

Scomponi $- 3 x$ da $- 3 x (x^{2}) - 3 x (- 5)$ .

$- 3 x (x^{2} - 5) + x^{4} - 9 x^{2} + 20 = 0$

Passaggio 1.2.2.3

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 3 x (x^{2} - 5) + {(x^{2})}^{2} - 9 x^{2} + 20 = 0$

Passaggio 1.2.2.4

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$- 3 x (x^{2} - 5) + u^{2} - 9 u + 20 = 0$

Passaggio 1.2.2.5

Scomponi $u^{2} - 9 u + 20$ usando il metodo AC.

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Passaggio 1.2.2.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $20$ e la cui somma è $- 9$ .

$- 5, - 4$

Passaggio 1.2.2.5.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$- 3 x (x^{2} - 5) + (u - 5) (u - 4) = 0$

Passaggio 1.2.2.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$- 3 x (x^{2} - 5) + (x^{2} - 5) (x^{2} - 4) = 0$

Passaggio 1.2.2.7

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$- 3 x (x^{2} - 5) + (x^{2} - 5) (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Passaggio 1.2.2.8

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.8.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$- 3 x (x^{2} - 5) + (x^{2} - 5) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Passaggio 1.2.2.8.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- 3 x (x^{2} - 5) + (x^{2} - 5) (x + 2) (x - 2) = 0$

Passaggio 1.2.2.9

Scomponi $x^{2} - 5$ da $- 3 x (x^{2} - 5) + (x^{2} - 5) (x + 2) (x - 2)$ .

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Passaggio 1.2.2.9.1

Scomponi $x^{2} - 5$ da $- 3 x (x^{2} - 5)$ .

$(x^{2} - 5) (- 3 x) + (x^{2} - 5) (x + 2) (x - 2) = 0$

Passaggio 1.2.2.9.2

Scomponi $x^{2} - 5$ da $(x^{2} - 5) (x + 2) (x - 2)$ .

$(x^{2} - 5) (- 3 x) + (x^{2} - 5) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Passaggio 1.2.2.9.3

Scomponi $x^{2} - 5$ da $(x^{2} - 5) (- 3 x) + (x^{2} - 5) ((x + 2) (x - 2))$ .

$(x^{2} - 5) (- 3 x + (x + 2) (x - 2)) = 0$

Passaggio 1.2.2.10

Espandi $(x + 2) (x - 2)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.2.2.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x (x - 2) + 2 (x - 2)) = 0$

Passaggio 1.2.2.10.2

Applica la proprietà distributiva.

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2)) = 0$

Passaggio 1.2.2.10.3

Applica la proprietà distributiva.

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2) = 0$

Passaggio 1.2.2.11

Combina i termini opposti in $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

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Passaggio 1.2.2.11.1

Riordina i fattori nei termini di $x \cdot - 2$ e $2 x$ .

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2) = 0$

Passaggio 1.2.2.11.2

Somma $- 2 x$ e $2 x$ .

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2) = 0$

Passaggio 1.2.2.11.3

Somma $x \cdot x$ e $0$ .

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x \cdot x + 2 \cdot - 2) = 0$

Passaggio 1.2.2.12

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.2.2.12.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x^{2} + 2 \cdot - 2) = 0$

Passaggio 1.2.2.12.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$(x^{2} - 5) (- 3 x + x^{2} - 4) = 0$

Passaggio 1.2.2.13

Riordina i termini.

$(x^{2} - 5) (x^{2} - 3 x - 4) = 0$

Passaggio 1.2.2.14

Scomponi.

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Passaggio 1.2.2.14.1

Scomponi $x^{2} - 3 x - 4$ usando il metodo AC.

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Passaggio 1.2.2.14.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 4$ e la cui somma è $- 3$ .

$- 4, 1$

Passaggio 1.2.2.14.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x^{2} - 5) ((x - 4) (x + 1)) = 0$

Passaggio 1.2.2.14.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x^{2} - 5) (x - 4) (x + 1) = 0$

Passaggio 1.2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} - 5 = 0$

$x - 4 = 0$

$x + 1 = 0$

Passaggio 1.2.4

Imposta $x^{2} - 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 1.2.4.1

Imposta $x^{2} - 5$ uguale a $0$ .

$x^{2} - 5 = 0$

Passaggio 1.2.4.2

Risolvi $x^{2} - 5 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 1.2.4.2.1

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 5$

Passaggio 1.2.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{5}$

Passaggio 1.2.4.2.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 1.2.4.2.3.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt{5}$

Passaggio 1.2.4.2.3.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt{5}$

Passaggio 1.2.4.2.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Passaggio 1.2.5

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 1.2.5.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 1.2.6

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 1.2.6.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 1.2.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x^{2} - 5) (x - 4) (x + 1) = 0$ vera.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}, 4, - 1$

Passaggio 1.3

intercetta(e) di x in forma punto.

Intercetta(e) di x: $(\sqrt{5}, 0), (- \sqrt{5}, 0), (4, 0), (- 1, 0)$

Passaggio 2

Trova le intercette di y.

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Passaggio 2.1

Per trovare l'intercetta di y, sostituisci $x$ con $0$ e risolvi per $y$ .

$y = {(0)}^{4} - 3 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$

Passaggio 2.2

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = 0^{4} - 3 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$

Passaggio 2.2.2

Rimuovi le parentesi.

$y = 0^{4} - 3 \cdot 0^{3} - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$

Passaggio 2.2.3

Rimuovi le parentesi.

$y = 0^{4} - 3 \cdot 0^{3} - 9 \cdot 0^{2} + 15 (0) + 20$

Passaggio 2.2.4

Rimuovi le parentesi.

$y = {(0)}^{4} - 3 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$

Passaggio 2.2.5

Semplifica ${(0)}^{4} - 3 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$y = 0 - 3 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$

Passaggio 2.2.5.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$y = 0 - 3 \cdot 0 - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$

Passaggio 2.2.5.1.3

Moltiplica $- 3$ per $0$ .

$y = 0 + 0 - 9 {(0)}^{2} + 15 (0) + 20$

Passaggio 2.2.5.1.4

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$y = 0 + 0 - 9 \cdot 0 + 15 (0) + 20$

Passaggio 2.2.5.1.5

Moltiplica $- 9$ per $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 15 (0) + 20$

Passaggio 2.2.5.1.6

Moltiplica $15$ per $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 0 + 20$

Passaggio 2.2.5.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 20$

Passaggio 2.2.5.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$y = 0 + 0 + 20$

Passaggio 2.2.5.2.3

Somma $0$ e $0$ .

$y = 0 + 20$

Passaggio 2.2.5.2.4

Somma $0$ e $20$ .

$y = 20$

Passaggio 2.3

intercetta(e) di y in forma punto.

Intercetta(e) di y: $(0, 20)$

Passaggio 3

Elenca le intersezioni.

Intercetta(e) di x: $(\sqrt{5}, 0), (- \sqrt{5}, 0), (4, 0), (- 1, 0)$

Intercetta(e) di y: $(0, 20)$

Passaggio 4