Precalcolo Esempi

$x^{2} - 6 x + 4 y^{2} + 16 y + 9 = 0$

Passaggio 1

Trova la forma standard dell'ellissi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sottrai $9$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} - 6 x + 4 y^{2} + 16 y = - 9$

Passaggio 1.2

Completa il quadrato per $x^{2} - 6 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

usa la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = - 6$

$c = 0$

Passaggio 1.2.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.2.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 6}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.3.2

Elimina il fattore comune di $- 6$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $- 6$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 3}{1}$

Passaggio 1.2.3.2.2.4

Dividi $- 3$ per $1$ .

$d = - 3$

Passaggio 1.2.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.1

Eleva $- 6$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$e = 0 - \frac{36}{4}$

Passaggio 1.2.4.2.1.3

Dividi $36$ per $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 9$

Passaggio 1.2.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$e = 0 - 9$

Passaggio 1.2.4.2.2

Sottrai $9$ da $0$ .

$e = - 9$

Passaggio 1.2.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella formula del vertice di ${(x - 3)}^{2} - 9$ .

${(x - 3)}^{2} - 9$

Passaggio 1.3

Sostituisci ${(x - 3)}^{2} - 9$ a $x^{2} - 6 x$ nell'equazione $x^{2} - 6 x + 4 y^{2} + 16 y = - 9$ .

${(x - 3)}^{2} - 9 + 4 y^{2} + 16 y = - 9$

Passaggio 1.4

Sposta $- 9$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $9$ a entrambi i lati.

${(x - 3)}^{2} + 4 y^{2} + 16 y = - 9 + 9$

Passaggio 1.5

Completa il quadrato per $4 y^{2} + 16 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

usa la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 4$

$b = 16$

$c = 0$

Passaggio 1.5.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.5.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{16}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.5.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $16$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $16$ .

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 (4)}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{8}{4}$

Passaggio 1.5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $8$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.2.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$d = \frac{4 \cdot 2}{4}$

Passaggio 1.5.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.2.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$d = \frac{4 \cdot 2}{4 (1)}$

Passaggio 1.5.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.5.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{2}{1}$

Passaggio 1.5.3.2.2.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$d = 2$

Passaggio 1.5.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{16^{2}}{4 \cdot 4}$

Passaggio 1.5.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.1

Eleva $16$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{256}{4 \cdot 4}$

Passaggio 1.5.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$e = 0 - \frac{256}{16}$

Passaggio 1.5.4.2.1.3

Dividi $256$ per $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Passaggio 1.5.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $16$ .

$e = 0 - 16$

Passaggio 1.5.4.2.2

Sottrai $16$ da $0$ .

$e = - 16$

Passaggio 1.5.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella formula del vertice di $4 {(y + 2)}^{2} - 16$ .

$4 {(y + 2)}^{2} - 16$

Passaggio 1.6

Sostituisci $4 {(y + 2)}^{2} - 16$ a $4 y^{2} + 16 y$ nell'equazione $x^{2} - 6 x + 4 y^{2} + 16 y = - 9$ .

${(x - 3)}^{2} + 4 {(y + 2)}^{2} - 16 = - 9 + 9$

Passaggio 1.7

Sposta $- 16$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $16$ a entrambi i lati.

${(x - 3)}^{2} + 4 {(y + 2)}^{2} = - 9 + 9 + 16$

Passaggio 1.8

Semplifica $- 9 + 9 + 16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Somma $- 9$ e $9$ .

${(x - 3)}^{2} + 4 {(y + 2)}^{2} = 0 + 16$

Passaggio 1.8.2

Somma $0$ e $16$ .

${(x - 3)}^{2} + 4 {(y + 2)}^{2} = 16$

Passaggio 1.9

Dividi per $16$ ciascun termine per rendere il lato destro uguale a uno.

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{16} + \frac{4 {(y + 2)}^{2}}{16} = \frac{16}{16}$

Passaggio 1.10

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{16} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{4} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'ellisse. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare il centro e gli assi minore e maggiore dell'ellissi.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa ellissi a quelli della forma standard. La variabile $a$ rappresenta il raggio dell'asse maggiore dell'ellissi, $b$ rappresenta il raggio dell'asse minore dell'ellissi, $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine e $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine.

$a = 4$

$b = 2$

$k = - 2$

$h = 3$

Passaggio 4

Il centro di un'ellissi segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci i valori di $h$ e $k$ .

$(3, - 2)$

Passaggio 5