Precalcolo Esempi

$d = 8 \cos (\frac{3 π}{4} t)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

$\frac{3 π}{4}$ e $t$ .

$\frac{d}{d t} [8 \cos (\frac{3 π t}{4})]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $8$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $8 \cos (\frac{3 π t}{4})$ rispetto a $t$ è $8 \frac{d}{d t} [\cos (\frac{3 π t}{4})]$ .

$8 \frac{d}{d t} [\cos (\frac{3 π t}{4})]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = \cos (t)$ e $g (t) = \frac{3 π t}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{3 π t}{4}$ .

$8 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d t} [\frac{3 π t}{4}])$

Passaggio 1.2.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$8 (- \sin (u) \frac{d}{d t} [\frac{3 π t}{4}])$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{3 π t}{4}$ .

$8 (- \sin (\frac{3 π t}{4}) \frac{d}{d t} [\frac{3 π t}{4}])$

Passaggio 1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$- 8 (\sin (\frac{3 π t}{4}) \frac{d}{d t} [\frac{3 π t}{4}])$

Passaggio 1.3.2

Poiché $\frac{3 π}{4}$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $\frac{3 π t}{4}$ rispetto a $t$ è $\frac{3 π}{4} \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 8 \sin (\frac{3 π t}{4}) (\frac{3 π}{4} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 1.3.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

$\frac{3 π}{4}$ e $- 8$ .

$\frac{3 π \cdot - 8}{4} \sin (\frac{3 π t}{4}) \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 1.3.3.2

Moltiplica $- 8$ per $3$ .

$\frac{- 24 π}{4} \sin (\frac{3 π t}{4}) \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 1.3.3.3

$\frac{- 24 π}{4}$ e $\sin (\frac{3 π t}{4})$ .

$\frac{- 24 π \sin (\frac{3 π t}{4})}{4} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 1.3.3.4

Elimina il fattore comune di $- 24$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.4.1

Scomponi $4$ da $- 24 π \sin (\frac{3 π t}{4})$ .

$\frac{4 (- 6 π \sin (\frac{3 π t}{4}))}{4} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 1.3.3.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.4.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$\frac{4 (- 6 π \sin (\frac{3 π t}{4}))}{4 (1)} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 1.3.3.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 (- 6 π \sin (\frac{3 π t}{4}))}{4 \cdot 1} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 1.3.3.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 6 π \sin (\frac{3 π t}{4})}{1} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 1.3.3.4.2.4

Dividi $- 6 π \sin (\frac{3 π t}{4})$ per $1$ .

$- 6 π \sin (\frac{3 π t}{4}) \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 6 π \sin (\frac{3 π t}{4}) \cdot 1$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$- 6 π \sin (\frac{3 π t}{4})$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $- 6 π$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 6 π \sin (\frac{3 π t}{4})$ rispetto a $t$ è $- 6 π \frac{d}{d t} [\sin (\frac{3 π t}{4})]$ .

$f'' (t) = - 6 π \frac{d}{d t} \sin (\frac{3 π t}{4})$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = \sin (t)$ e $g (t) = \frac{3 π t}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{3 π t}{4}$ .

$f'' (t) = - 6 π (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d t} (\frac{3 π t}{4}))$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$f'' (t) = - 6 π (\cos (u) \frac{d}{d t} (\frac{3 π t}{4}))$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{3 π t}{4}$ .

$f'' (t) = - 6 π (\cos (\frac{3 π t}{4}) \frac{d}{d t} (\frac{3 π t}{4}))$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $\frac{3 π}{4}$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $\frac{3 π t}{4}$ rispetto a $t$ è $\frac{3 π}{4} \frac{d}{d t} [t]$ .

$f'' (t) = - 6 π \cos (\frac{3 π t}{4}) (\frac{3 π}{4} \cdot \frac{d}{d t} (t))$

Passaggio 2.3.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

$\frac{3 π}{4}$ e $- 6$ .

$f'' (t) = \frac{3 π \cdot - 6}{4} \cdot (π \cos (\frac{3 π t}{4})) \frac{d}{d t} (t)$

Passaggio 2.3.2.2

Moltiplica $- 6$ per $3$ .

$f'' (t) = \frac{- 18 π}{4} \cdot (π \cos (\frac{3 π t}{4})) \frac{d}{d t} (t)$

Passaggio 2.3.2.3

$\frac{- 18 π}{4}$ e $π$ .

$f'' (t) = \frac{- 18 π π}{4} \cdot \cos (\frac{3 π t}{4}) \frac{d}{d t} (t)$

Passaggio 2.4

Eleva $π$ alla potenza di $1$ .

$f'' (t) = \frac{- 18 (π π)}{4} \cdot \cos (\frac{3 π t}{4}) \frac{d}{d t} (t)$

Passaggio 2.5

Eleva $π$ alla potenza di $1$ .

$f'' (t) = \frac{- 18 (π π)}{4} \cdot \cos (\frac{3 π t}{4}) \frac{d}{d t} (t)$

Passaggio 2.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (t) = \frac{- 18 π^{1 + 1}}{4} \cdot \cos (\frac{3 π t}{4}) \frac{d}{d t} (t)$

Passaggio 2.7

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (t) = \frac{- 18 π^{2}}{4} \cdot \cos (\frac{3 π t}{4}) \frac{d}{d t} (t)$

Passaggio 2.7.2

$\frac{- 18 π^{2}}{4}$ e $\cos (\frac{3 π t}{4})$ .

$f'' (t) = \frac{- 18 π^{2} \cos (\frac{3 π t}{4})}{4} \cdot \frac{d}{d t} (t)$

Passaggio 2.7.3

Elimina il fattore comune di $- 18$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.3.1

Scomponi $2$ da $- 18 π^{2} \cos (\frac{3 π t}{4})$ .

$f'' (t) = \frac{2 (- 9 π^{2} \cos (\frac{3 π t}{4}))}{4} \cdot \frac{d}{d t} (t)$

Passaggio 2.7.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.3.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f'' (t) = \frac{2 (- 9 π^{2} \cos (\frac{3 π t}{4}))}{2 (2)} \cdot \frac{d}{d t} (t)$

Passaggio 2.7.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (t) = \frac{2 (- 9 π^{2} \cos (\frac{3 π t}{4}))}{2 \cdot 2} \cdot \frac{d}{d t} (t)$

Passaggio 2.7.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (t) = \frac{- 9 π^{2} \cos (\frac{3 π t}{4})}{2} \cdot \frac{d}{d t} (t)$

Passaggio 2.7.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (t) = - \frac{9 π^{2} \cos (\frac{3 π t}{4})}{2} \cdot \frac{d}{d t} t$

Passaggio 2.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (t) = - \frac{9 π^{2} \cos (\frac{3 π t}{4})}{2} \cdot 1$

Passaggio 2.9

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f'' (t) = - \frac{9 π^{2} \cos (\frac{3 π t}{4})}{2}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 6 π \sin (\frac{3 π t}{4}) = 0$

Passaggio 4

Dividi per $- 6 π$ ciascun termine in $- 6 π \sin (\frac{3 π t}{4}) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Dividi per $- 6 π$ ciascun termine in $- 6 π \sin (\frac{3 π t}{4}) = 0$ .

$\frac{- 6 π \sin (\frac{3 π t}{4})}{- 6 π} = \frac{0}{- 6 π}$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Elimina il fattore comune di $- 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 6 π \sin (\frac{3 π t}{4})}{- 6 π} = \frac{0}{- 6 π}$

Passaggio 4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{π \sin (\frac{3 π t}{4})}{π} = \frac{0}{- 6 π}$

Passaggio 4.2.2

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{π \sin (\frac{3 π t}{4})}{π} = \frac{0}{- 6 π}$

Passaggio 4.2.2.2

Dividi $\sin (\frac{3 π t}{4})$ per $1$ .

$\sin (\frac{3 π t}{4}) = \frac{0}{- 6 π}$

Passaggio 4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Elimina il fattore comune di $0$ e $- 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1

Scomponi $6$ da $0$ .

$\sin (\frac{3 π t}{4}) = \frac{6 (0)}{- 6 π}$

Passaggio 4.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.2.1

Scomponi $6$ da $- 6 π$ .

$\sin (\frac{3 π t}{4}) = \frac{6 (0)}{6 (- π)}$

Passaggio 4.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\sin (\frac{3 π t}{4}) = \frac{6 \cdot 0}{6 (- π)}$

Passaggio 4.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\sin (\frac{3 π t}{4}) = \frac{0}{- π}$

Passaggio 4.3.2

Dividi $0$ per $- π$ .

$\sin (\frac{3 π t}{4}) = 0$

Passaggio 5

Trova il valore dell'incognita $t$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$\frac{3 π t}{4} = \arcsin (0)$

Passaggio 6

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$\frac{3 π t}{4} = 0$

Passaggio 7

Poni il numeratore uguale a zero.

$3 π t = 0$

Passaggio 8

Dividi per $3 π$ ciascun termine in $3 π t = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Dividi per $3 π$ ciascun termine in $3 π t = 0$ .

$\frac{3 π t}{3 π} = \frac{0}{3 π}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 π t}{3 π} = \frac{0}{3 π}$

Passaggio 8.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{π t}{π} = \frac{0}{3 π}$

Passaggio 8.2.2

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{π t}{π} = \frac{0}{3 π}$

Passaggio 8.2.2.2

Dividi $t$ per $1$ .

$t = \frac{0}{3 π}$

Passaggio 8.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Elimina il fattore comune di $0$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Scomponi $3$ da $0$ .

$t = \frac{3 (0)}{3 π}$

Passaggio 8.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.2.1

Scomponi $3$ da $3 π$ .

$t = \frac{3 (0)}{3 (π)}$

Passaggio 8.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$t = \frac{3 \cdot 0}{3 π}$

Passaggio 8.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$t = \frac{0}{π}$

Passaggio 8.3.2

Dividi $0$ per $π$ .

$t = 0$

Passaggio 9

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$\frac{3 π t}{4} = π - 0$

Passaggio 10

Risolvi per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $\frac{4}{3 π}$ .

$\frac{4}{3 π} \cdot \frac{3 π t}{4} = \frac{4}{3 π} (π - 0)$

Passaggio 10.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.1

Semplifica $\frac{4}{3 π} \cdot \frac{3 π t}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.1.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4}{3 π} \cdot \frac{3 π t}{4} = \frac{4}{3 π} (π - 0)$

Passaggio 10.2.1.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{3 π} (3 π t) = \frac{4}{3 π} (π - 0)$

Passaggio 10.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3 π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.1.2.1

Scomponi $3 π$ da $3 π t$ .

$\frac{1}{3 π} (3 π (t)) = \frac{4}{3 π} (π - 0)$

Passaggio 10.2.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{3 π} (3 π t) = \frac{4}{3 π} (π - 0)$

Passaggio 10.2.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$t = \frac{4}{3 π} (π - 0)$

Passaggio 10.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Semplifica $\frac{4}{3 π} (π - 0)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1.1

Sottrai $0$ da $π$ .

$t = \frac{4}{3 π} π$

Passaggio 10.2.2.1.2

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1.2.1

Scomponi $π$ da $3 π$ .

$t = \frac{4}{π \cdot 3} π$

Passaggio 10.2.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$t = \frac{4}{π \cdot 3} π$

Passaggio 10.2.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$t = \frac{4}{3}$

Passaggio 11

La soluzione dell'equazione $\frac{3 π t}{4} = 0$ .

$t = 0, \frac{4}{3}$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $t = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{9 π^{2} \cos (\frac{3 π (0)}{4})}{2}$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Elimina il fattore comune di $0$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Scomponi $4$ da $3 π (0)$ .

$- \frac{9 π^{2} \cos (\frac{4 (3 π \cdot (0))}{4})}{2}$

Passaggio 13.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$- \frac{9 π^{2} \cos (\frac{4 (3 π \cdot (0))}{4 (1)})}{2}$

Passaggio 13.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{9 π^{2} \cos (\frac{4 (3 π \cdot (0))}{4 \cdot 1})}{2}$

Passaggio 13.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{9 π^{2} \cos (\frac{3 π \cdot (0)}{1})}{2}$

Passaggio 13.1.2.4

Dividi $3 π \cdot (0)$ per $1$ .

$- \frac{9 π^{2} \cos (3 π \cdot (0))}{2}$

Passaggio 13.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.1

Moltiplica $0$ per $3$ .

$- \frac{9 π^{2} \cos (0 π)}{2}$

Passaggio 13.2.1.2

Moltiplica $0$ per $π$ .

$- \frac{9 π^{2} \cos (0)}{2}$

Passaggio 13.2.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$- \frac{9 π^{2} \cdot 1}{2}$

Passaggio 13.2.3

Moltiplica $9$ per $1$ .

$- \frac{9 π^{2}}{2}$

Passaggio 14

$t = 0$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$t = 0$ è un massimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $t = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $t$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = 8 \cos (\frac{3 π}{4} \cdot (0))$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Moltiplica $\frac{3 π}{4}$ per $0$ .

$f (0) = 8 \cos (0)$

Passaggio 15.2.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (0) = 8 \cdot 1$

Passaggio 15.2.3

Moltiplica $8$ per $1$ .

$f (0) = 8$

Passaggio 15.2.4

La risposta finale è $8$ .

$y = 8$

Passaggio 16

Calcola la derivata seconda per $t = \frac{4}{3}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{9 π^{2} \cos (\frac{3 π (\frac{4}{3})}{4})}{2}$

Passaggio 17

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.1

$\frac{4}{3}$ e $3$ .

$- \frac{9 π^{2} \cos (\frac{\frac{4 \cdot 3}{3} π}{4})}{2}$

Passaggio 17.1.2

$\frac{4 \cdot 3}{3}$ e $π$ .

$- \frac{9 π^{2} \cos (\frac{\frac{4 \cdot 3 π}{3}}{4})}{2}$

Passaggio 17.2

Moltiplica $4$ per $3$ .

$- \frac{9 π^{2} \cos (\frac{\frac{12 π}{3}}{4})}{2}$

Passaggio 17.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.3.1

Riduci l'espressione $\frac{12 π}{3}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.3.1.1

Scomponi $3$ da $12 π$ .

$- \frac{9 π^{2} \cos (\frac{\frac{3 (4 π)}{3}}{4})}{2}$

Passaggio 17.3.1.2

Scomponi $3$ da $3$ .

$- \frac{9 π^{2} \cos (\frac{\frac{3 (4 π)}{3 (1)}}{4})}{2}$

Passaggio 17.3.1.3

Elimina il fattore comune.

$- \frac{9 π^{2} \cos (\frac{\frac{3 (4 π)}{3 \cdot 1}}{4})}{2}$

Passaggio 17.3.1.4

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{9 π^{2} \cos (\frac{\frac{4 π}{1}}{4})}{2}$

Passaggio 17.3.2

Dividi $4 π$ per $1$ .

$- \frac{9 π^{2} \cos (\frac{4 π}{4})}{2}$

Passaggio 17.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.4.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.4.1.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{9 π^{2} \cos (\frac{4 π}{4})}{2}$

Passaggio 17.4.1.2

Dividi $π$ per $1$ .

$- \frac{9 π^{2} \cos (π)}{2}$

Passaggio 17.4.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$- \frac{9 π^{2} (- \cos (0))}{2}$

Passaggio 17.4.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$- \frac{9 π^{2} (- 1 \cdot 1)}{2}$

Passaggio 17.4.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{9 π^{2} \cdot - 1}{2}$

Passaggio 17.4.5

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$- \frac{- 9 π^{2}}{2}$

Passaggio 17.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- - \frac{9 π^{2}}{2}$

Passaggio 17.6

Moltiplica $- - \frac{9 π^{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.6.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{9 π^{2}}{2}$

Passaggio 17.6.2

Moltiplica $\frac{9 π^{2}}{2}$ per $1$ .

$\frac{9 π^{2}}{2}$

Passaggio 18

$t = \frac{4}{3}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$t = \frac{4}{3}$ è un minimo locale

Passaggio 19

Trova il valore di y quando $t = \frac{4}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1

Sostituisci la variabile $t$ con $\frac{4}{3}$ nell'espressione.

$f (\frac{4}{3}) = 8 \cos (\frac{3 π}{4} \cdot (\frac{4}{3}))$

Passaggio 19.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.1

Scomponi $3$ da $3 π$ .

$f (\frac{4}{3}) = 8 \cos (\frac{3 (π)}{4} \cdot \frac{4}{3})$

Passaggio 19.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{4}{3}) = 8 \cos (\frac{3 π}{4} \cdot \frac{4}{3})$

Passaggio 19.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{4}{3}) = 8 \cos (\frac{π}{4} \cdot 4)$

Passaggio 19.2.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{4}{3}) = 8 \cos (\frac{π}{4} \cdot 4)$

Passaggio 19.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{4}{3}) = 8 \cos (π)$

Passaggio 19.2.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$f (\frac{4}{3}) = 8 (- \cos (0))$

Passaggio 19.2.4

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (\frac{4}{3}) = 8 (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 19.2.5

Moltiplica $8 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.5.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{4}{3}) = 8 \cdot - 1$

Passaggio 19.2.5.2

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$f (\frac{4}{3}) = - 8$

Passaggio 19.2.6

La risposta finale è $- 8$ .

$y = - 8$

Passaggio 20

Questi sono gli estremi locali per $f (t) = 8 \cos (\frac{3 π}{4} t)$ .

$(0, 8)$ è un massimo locale

$(\frac{4}{3}, - 8)$ è un minimo locale

Passaggio 21