Precalcolo Esempi

$y = \log (x^{3} - 36 x)$

Passaggio 1

Imposta l'argomento in $\log (x^{3} - 36 x)$ in modo che sia maggiore di $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x^{3} - 36 x > 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.1

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$x^{3} - 36 x = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 2.2.1

Scomponi $x$ da $x^{3} - 36 x$ .

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Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - 36 x = 0$

Passaggio 2.2.1.2

Scomponi $x$ da $- 36 x$ .

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 36 = 0$

Passaggio 2.2.1.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x^{2} + x \cdot - 36$ .

$x (x^{2} - 36) = 0$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $36$ come $6^{2}$ .

$x (x^{2} - 6^{2}) = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi.

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Passaggio 2.2.3.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 6$ .

$x ((x + 6) (x - 6)) = 0$

Passaggio 2.2.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$x (x + 6) (x - 6) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x + 6 = 0$

$x - 6 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.5

Imposta $x + 6$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.5.1

Imposta $x + 6$ uguale a $0$ .

$x + 6 = 0$

Passaggio 2.5.2

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 6$

Passaggio 2.6

Imposta $x - 6$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.6.1

Imposta $x - 6$ uguale a $0$ .

$x - 6 = 0$

Passaggio 2.6.2

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 6$

Passaggio 2.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x (x + 6) (x - 6) = 0$ vera.

$x = 0, - 6, 6$

Passaggio 2.8

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 6$

$- 6 < x < 0$

$0 < x < 6$

$x > 6$

Passaggio 2.9

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 2.9.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 6$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 2.9.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 6$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 8$

Passaggio 2.9.1.2

Sostituisci $x$ con $- 8$ nella diseguaglianza originale.

${(- 8)}^{3} - 36 \cdot - 8 > 0$

Passaggio 2.9.1.3

Il lato sinistro di $- 224$ non è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 2.9.2

Testa un valore sull'intervallo $- 6 < x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 2.9.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 6 < x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 3$

Passaggio 2.9.2.2

Sostituisci $x$ con $- 3$ nella diseguaglianza originale.

${(- 3)}^{3} - 36 \cdot - 3 > 0$

Passaggio 2.9.2.3

Il lato sinistro di $81$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 2.9.3

Testa un valore sull'intervallo $0 < x < 6$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 2.9.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < x < 6$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 3$

Passaggio 2.9.3.2

Sostituisci $x$ con $3$ nella diseguaglianza originale.

${(3)}^{3} - 36 \cdot 3 > 0$

Passaggio 2.9.3.3

Il lato sinistro di $- 81$ non è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 2.9.4

Testa un valore sull'intervallo $x > 6$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 2.9.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 6$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 8$

Passaggio 2.9.4.2

Sostituisci $x$ con $8$ nella diseguaglianza originale.

${(8)}^{3} - 36 \cdot 8 > 0$

Passaggio 2.9.4.3

Il lato sinistro di $224$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 2.9.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 6$ Falso

$- 6 < x < 0$ Vero

$0 < x < 6$ Falso

$x > 6$ Vero

$x < - 6$ Falso

$- 6 < x < 0$ Vero

$0 < x < 6$ Falso

$x > 6$ Vero

Passaggio 2.10

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$- 6 < x < 0$ o $x > 6$

Passaggio 3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- 6, 0) \cup (6, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | - 6 < x < 0, x > 6}$

Passaggio 4