Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{1 + x}{e^{\cos (x)}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 1 + x$ e $g (x) = e^{\cos (x)}$ .

$\frac{e^{\cos (x)} \frac{d}{d x} [1 + x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{\cos (x)}]}{{(e^{\cos (x)})}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{\cos (x)})}^{2}$ .

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Passaggio 2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{\cos (x)} \frac{d}{d x} [1 + x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{\cos (x)}]}{e^{\cos (x) \cdot 2}}$

Passaggio 2.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (x)$ .

$\frac{e^{\cos (x)} \frac{d}{d x} [1 + x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{\cos (x)}]}{e^{2 \cos (x)}}$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{\cos (x)} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{\cos (x)}]}{e^{2 \cos (x)}}$

Passaggio 2.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{e^{\cos (x)} (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{\cos (x)}]}{e^{2 \cos (x)}}$

Passaggio 2.4

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{\cos (x)} \frac{d}{d x} [x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{\cos (x)}]}{e^{2 \cos (x)}}$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{e^{\cos (x)} \cdot 1 - (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{\cos (x)}]}{e^{2 \cos (x)}}$

Passaggio 2.6

Moltiplica $e^{\cos (x)}$ per $1$ .

$\frac{e^{\cos (x)} - (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{\cos (x)}]}{e^{2 \cos (x)}}$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\cos (x)$ .

$\frac{e^{\cos (x)} - (1 + x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{e^{2 \cos (x)}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{e^{\cos (x)} - (1 + x) (e^{u} \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{e^{2 \cos (x)}}$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\cos (x)$ .

$\frac{e^{\cos (x)} - (1 + x) (e^{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{e^{2 \cos (x)}}$

Passaggio 4

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$\frac{e^{\cos (x)} - (1 + x) (e^{\cos (x)} (- \sin (x)))}{e^{2 \cos (x)}}$

Passaggio 5

Moltiplica.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{e^{\cos (x)} + 1 (1 + x) (e^{\cos (x)} (\sin (x)))}{e^{2 \cos (x)}}$

Passaggio 5.2

Moltiplica $1 + x$ per $1$ .

$\frac{e^{\cos (x)} + (1 + x) (e^{\cos (x)} (\sin (x)))}{e^{2 \cos (x)}}$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{e^{\cos (x)} + (1 e^{\cos (x)} + x e^{\cos (x)}) \sin (x)}{e^{2 \cos (x)}}$

Passaggio 6.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{e^{\cos (x)} + 1 e^{\cos (x)} \sin (x) + x e^{\cos (x)} \sin (x)}{e^{2 \cos (x)}}$

Passaggio 6.3

Moltiplica $e^{\cos (x)}$ per $1$ .

$\frac{e^{\cos (x)} + e^{\cos (x)} \sin (x) + x e^{\cos (x)} \sin (x)}{e^{2 \cos (x)}}$

Passaggio 6.4

Riordina i termini.

$\frac{e^{\cos (x)} \sin (x) + e^{\cos (x)} x \sin (x) + e^{\cos (x)}}{e^{2 \cos (x)}}$