Precalcolo Esempi

$f (x) = \sec^{3} (4 x^{2} + x)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \sec (4 x^{2} + x)$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\sec (4 x^{2} + x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sec (4 x^{2} + x)]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\sec (4 x^{2} + x)]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\sec (4 x^{2} + x)$ .

$3 \sec^{2} (4 x^{2} + x) \frac{d}{d x} [\sec (4 x^{2} + x)]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = 4 x^{2} + x$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $4 x^{2} + x$ .

$3 \sec^{2} (4 x^{2} + x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x^{2} + x])$

Passaggio 2.2

La derivata di $\sec (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$3 \sec^{2} (4 x^{2} + x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + x])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $4 x^{2} + x$ .

$3 \sec^{2} (4 x^{2} + x) (\sec (4 x^{2} + x) \tan (4 x^{2} + x) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + x])$

Passaggio 3

Eleva $\sec (4 x^{2} + x)$ alla potenza di $1$ .

$3 (\sec^{1} (4 x^{2} + x) \sec^{2} (4 x^{2} + x)) (\tan (4 x^{2} + x) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + x])$

Passaggio 4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3 {\sec (4 x^{2} + x)}^{1 + 2} (\tan (4 x^{2} + x) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + x])$

Passaggio 5

Somma $1$ e $2$ .

$3 \sec^{3} (4 x^{2} + x) (\tan (4 x^{2} + x) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + x])$

Passaggio 6

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{2} + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \sec^{3} (4 x^{2} + x) \tan (4 x^{2} + x) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 7

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \sec^{3} (4 x^{2} + x) \tan (4 x^{2} + x) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 \sec^{3} (4 x^{2} + x) \tan (4 x^{2} + x) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 9

Moltiplica $2$ per $4$ .

$3 \sec^{3} (4 x^{2} + x) \tan (4 x^{2} + x) (8 x + \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \sec^{3} (4 x^{2} + x) \tan (4 x^{2} + x) (8 x + 1)$