Precalcolo Esempi

$f (x) = x^{5} + 7 x^{4} + 2 x^{3} + 14 x^{2} + x + 7$

Passaggio 1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 7$

$q = \pm 1$

Passaggio 2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 7$

Passaggio 3

Nel polinomio, sostituisci le possibili radici una alla volta per trovare le radici effettive. Semplifica per verificare se il valore è $0$ ; ciò significa che è una radice.

${(- 7)}^{5} + 7 {(- 7)}^{4} + 2 {(- 7)}^{3} + 14 {(- 7)}^{2} - 7 + 7$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ , quindi $x = - 7$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 4.1

Rimuovi le parentesi.

${(- 7)}^{5} + 7 {(- 7)}^{4} + 2 {(- 7)}^{3} + 14 {(- 7)}^{2} - 7 + 7$

Passaggio 4.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1

Eleva $- 7$ alla potenza di $5$ .

$- 16807 + 7 {(- 7)}^{4} + 2 {(- 7)}^{3} + 14 {(- 7)}^{2} - 7 + 7$

Passaggio 4.2.2

Eleva $- 7$ alla potenza di $4$ .

$- 16807 + 7 \cdot 2401 + 2 {(- 7)}^{3} + 14 {(- 7)}^{2} - 7 + 7$

Passaggio 4.2.3

Moltiplica $7$ per $2401$ .

$- 16807 + 16807 + 2 {(- 7)}^{3} + 14 {(- 7)}^{2} - 7 + 7$

Passaggio 4.2.4

Eleva $- 7$ alla potenza di $3$ .

$- 16807 + 16807 + 2 \cdot - 343 + 14 {(- 7)}^{2} - 7 + 7$

Passaggio 4.2.5

Moltiplica $2$ per $- 343$ .

$- 16807 + 16807 - 686 + 14 {(- 7)}^{2} - 7 + 7$

Passaggio 4.2.6

Eleva $- 7$ alla potenza di $2$ .

$- 16807 + 16807 - 686 + 14 \cdot 49 - 7 + 7$

Passaggio 4.2.7

Moltiplica $14$ per $49$ .

$- 16807 + 16807 - 686 + 686 - 7 + 7$

$- 16807 + 16807 - 686 + 686 - 7 + 7$

Passaggio 4.3

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 4.3.1

Somma $- 16807$ e $16807$ .

$0 - 686 + 686 - 7 + 7$

Passaggio 4.3.2

Sottrai $686$ da $0$ .

$- 686 + 686 - 7 + 7$

Passaggio 4.3.3

Somma $- 686$ e $686$ .

$0 - 7 + 7$

Passaggio 4.3.4

Sottrai $7$ da $0$ .

$- 7 + 7$

Passaggio 4.3.5

Somma $- 7$ e $7$ .

$0$

$0$

$0$

Passaggio 5

Poiché $- 7$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 7$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può essere utilizzato per trovare le restanti radici.

$\frac{x^{5} + 7 x^{4} + 2 x^{3} + 14 x^{2} + x + 7}{x + 7}$

Passaggio 6

Ora, trova le radici del polinomio rimanente. L'ordine del polinomio è stato ridotto di $1$ .

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Passaggio 6.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$

Passaggio 6.2

Il primo numero nel dividendo $(1)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$

	$1$

Passaggio 6.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(1)$ per il divisore $(- 7)$ e posiziona il risultato di $(- 7)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(7)$ .

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$
	$1$

Passaggio 6.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$
	$1$	$0$

Passaggio 6.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(0)$ per il divisore $(- 7)$ e posiziona il risultato di $(0)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(2)$ .

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$
	$1$	$0$

Passaggio 6.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$
	$1$	$0$	$2$

Passaggio 6.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(2)$ per il divisore $(- 7)$ e posiziona il risultato di $(- 14)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(14)$ .

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$	$- 14$
	$1$	$0$	$2$

Passaggio 6.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$	$- 14$
	$1$	$0$	$2$	$0$

Passaggio 6.9

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(0)$ per il divisore $(- 7)$ e posiziona il risultato di $(0)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(1)$ .

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$	$- 14$	$0$
	$1$	$0$	$2$	$0$

Passaggio 6.10

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$	$- 14$	$0$
	$1$	$0$	$2$	$0$	$1$

Passaggio 6.11

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(1)$ per il divisore $(- 7)$ e posiziona il risultato di $(- 7)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(7)$ .

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$	$- 14$	$0$	$- 7$
	$1$	$0$	$2$	$0$	$1$

Passaggio 6.12

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$	$- 14$	$0$	$- 7$
	$1$	$0$	$2$	$0$	$1$	$0$

Passaggio 6.13

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$1 x^{4} + 0 x^{3} + 2 x^{2} + 0 x + 1$

Passaggio 6.14

Semplifica il polinomio quoziente.

$x^{4} + 2 x^{2} + 1$

$x^{4} + 2 x^{2} + 1$

Passaggio 7

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$(x + 7) {(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 1$

Passaggio 8

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$(x + 7) u^{2} + 2 u + 1$

Passaggio 9

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 9.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$(x + 7) + u^{2} + 2 u + 1^{2}$

Passaggio 9.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Passaggio 9.3

Riscrivi il polinomio.

$(x + 7) + u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}$

Passaggio 9.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = u$ e $b = 1$ .

$(x + 7) + {(u + 1)}^{2}$

$(x + 7) {(u + 1)}^{2}$

Passaggio 10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$(x + 7) {(x^{2} + 1)}^{2}$

Passaggio 11

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 11.1

Raggruppa i termini.

$x^{5} + 2 x^{3} + x + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Passaggio 11.2

Scomponi $x$ da $x^{5} + 2 x^{3} + x$ .

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Passaggio 11.2.1

Scomponi $x$ da $x^{5}$ .

$x \cdot x^{4} + 2 x^{3} + x + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Passaggio 11.2.2

Scomponi $x$ da $2 x^{3}$ .

$x \cdot x^{4} + x (2 x^{2}) + x + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Passaggio 11.2.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x \cdot x^{4} + x (2 x^{2}) + x + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Passaggio 11.2.4

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$x \cdot x^{4} + x (2 x^{2}) + x \cdot 1 + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Passaggio 11.2.5

Scomponi $x$ da $x \cdot x^{4} + x (2 x^{2})$ .

$x (x^{4} + 2 x^{2}) + x \cdot 1 + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Passaggio 11.2.6

Scomponi $x$ da $x (x^{4} + 2 x^{2}) + x \cdot 1$ .

$x (x^{4} + 2 x^{2} + 1) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

$x (x^{4} + 2 x^{2} + 1) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Passaggio 11.3

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$x ({(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 1) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Passaggio 11.4

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$x (u^{2} + 2 u + 1) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Passaggio 11.5

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 11.5.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$x (u^{2} + 2 u + 1^{2}) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Passaggio 11.5.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Passaggio 11.5.3

Riscrivi il polinomio.

$x (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Passaggio 11.5.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = u$ e $b = 1$ .

$x {(u + 1)}^{2} + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

$x {(u + 1)}^{2} + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Passaggio 11.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Passaggio 11.7

Scomponi $7$ da $7 x^{4} + 14 x^{2} + 7$ .

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Passaggio 11.7.1

Scomponi $7$ da $7 x^{4}$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4}) + 14 x^{2} + 7 = 0$

Passaggio 11.7.2

Scomponi $7$ da $14 x^{2}$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4}) + 7 (2 x^{2}) + 7 = 0$

Passaggio 11.7.3

Scomponi $7$ da $7$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4}) + 7 (2 x^{2}) + 7 (1) = 0$

Passaggio 11.7.4

Scomponi $7$ da $7 (x^{4}) + 7 (2 x^{2})$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4} + 2 x^{2}) + 7 (1) = 0$

Passaggio 11.7.5

Scomponi $7$ da $7 (x^{4} + 2 x^{2}) + 7 (1)$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4} + 2 x^{2} + 1) = 0$

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4} + 2 x^{2} + 1) = 0$

Passaggio 11.8

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 ({(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 1) = 0$

Passaggio 11.9

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (u^{2} + 2 u + 1) = 0$

Passaggio 11.10

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 11.10.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (u^{2} + 2 u + 1^{2}) = 0$

Passaggio 11.10.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Passaggio 11.10.3

Riscrivi il polinomio.

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Passaggio 11.10.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = u$ e $b = 1$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 {(u + 1)}^{2} = 0$

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 {(u + 1)}^{2} = 0$

Passaggio 11.11

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 {(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

Passaggio 11.12

Scomponi ${(x^{2} + 1)}^{2}$ da $x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

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Passaggio 11.12.1

Scomponi ${(x^{2} + 1)}^{2}$ da $x {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

${(x^{2} + 1)}^{2} x + 7 {(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

Passaggio 11.12.2

Scomponi ${(x^{2} + 1)}^{2}$ da $7 {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

${(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 7 = 0$

Passaggio 11.12.3

Scomponi ${(x^{2} + 1)}^{2}$ da ${(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 7$ .

${(x^{2} + 1)}^{2} (x + 7) = 0$

${(x^{2} + 1)}^{2} (x + 7) = 0$

${(x^{2} + 1)}^{2} (x + 7) = 0$

Passaggio 12

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

${(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

$x + 7 = 0$

Passaggio 13

Imposta ${(x^{2} + 1)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 13.1

Imposta ${(x^{2} + 1)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

Passaggio 13.2

Risolvi ${(x^{2} + 1)}^{2} = 0$ per $x$ .

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Passaggio 13.2.1

Poni $x^{2} + 1$ uguale a $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Passaggio 13.2.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 13.2.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = - 1$

Passaggio 13.2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Passaggio 13.2.2.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i$

Passaggio 13.2.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 13.2.2.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = i$

Passaggio 13.2.2.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - i$

Passaggio 13.2.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = i, - i$

$x = i, - i$

$x = i, - i$

$x = i, - i$

$x = i, - i$

Passaggio 14

Imposta $x + 7$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 14.1

Imposta $x + 7$ uguale a $0$ .

$x + 7 = 0$

Passaggio 14.2

Sottrai $7$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 7$

$x = - 7$

Passaggio 15

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono ${(x^{2} + 1)}^{2} (x + 7) = 0$ vera.

$x = i, - i, - 7$

Passaggio 16

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$