Precalcolo Esempi

$y = \sqrt{x - 1}$

Passaggio 1

Scambia le variabili.

$x = \sqrt{y - 1}$

Passaggio 2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione come $\sqrt{y - 1} = x$ .

$\sqrt{y - 1} = x$

Passaggio 2.2

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{y - 1}}^{2} = x^{2}$

Passaggio 2.3

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{y - 1}$ come ${(y - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Semplifica ${({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Passaggio 2.3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Passaggio 2.3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(y - 1)}^{1} = x^{2}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Semplifica.

$y - 1 = x^{2}$

Passaggio 2.4

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = x^{2} + 1$

Passaggio 3

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = x^{2} + 1$

Passaggio 4

Verifica se $f^{- 1} (x) = x^{2} + 1$ è l'inverso di $f (x) = \sqrt{x - 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 4.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 4.2.2

Calcola $f^{- 1} (\sqrt{x - 1})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x - 1}) = {(\sqrt{x - 1})}^{2} + 1$

Passaggio 4.2.3

Riscrivi ${\sqrt{x - 1}}^{2}$ come $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x - 1}$ come ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x - 1}) = {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1$

Passaggio 4.2.3.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x - 1}) = {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1$

Passaggio 4.2.3.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x - 1}) = {(x - 1)}^{\frac{2}{2}} + 1$

Passaggio 4.2.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\sqrt{x - 1}) = {(x - 1)}^{\frac{2}{2}} + 1$

Passaggio 4.2.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\sqrt{x - 1}) = (x - 1) + 1$

Passaggio 4.2.3.5

Semplifica.

$f^{- 1} (\sqrt{x - 1}) = x - 1 + 1$

Passaggio 4.2.4

Combina i termini opposti in $x - 1 + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Somma $- 1$ e $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x - 1}) = x + 0$

Passaggio 4.2.4.2

Somma $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x - 1}) = x$

Passaggio 4.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 4.3.2

Calcola $f (x^{2} + 1)$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (x^{2} + 1) = \sqrt{(x^{2} + 1) - 1}$

Passaggio 4.3.3

Sottrai $1$ da $1$ .

$f (x^{2} + 1) = \sqrt{x^{2} + 0}$

Passaggio 4.3.4

Somma $x^{2}$ e $0$ .

$f (x^{2} + 1) = \sqrt{x^{2}}$

Passaggio 4.3.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (x^{2} + 1) = x$

Passaggio 4.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = x^{2} + 1$ è l'inverso di $f (x) = \sqrt{x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} + 1$