Precalcolo Esempi

$y = 2 e^{x - 2}$

Passaggio 1

Scambia le variabili.

$x = 2 e^{y - 2}$

Passaggio 2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione come $2 e^{y - 2} = x$ .

$2 e^{y - 2} = x$

Passaggio 2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 e^{y - 2} = x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 e^{y - 2} = x$ .

$\frac{2 e^{y - 2}}{2} = \frac{x}{2}$

Passaggio 2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 e^{y - 2}}{2} = \frac{x}{2}$

Passaggio 2.2.2.1.2

Dividi $e^{y - 2}$ per $1$ .

$e^{y - 2} = \frac{x}{2}$

Passaggio 2.3

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{y - 2}) = \ln (\frac{x}{2})$

Passaggio 2.4

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Espandi $\ln (e^{y - 2})$ spostando $y - 2$ fuori dal logaritmo.

$(y - 2) \ln (e) = \ln (\frac{x}{2})$

Passaggio 2.4.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$(y - 2) \cdot 1 = \ln (\frac{x}{2})$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $y - 2$ per $1$ .

$y - 2 = \ln (\frac{x}{2})$

Passaggio 2.5

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = \ln (\frac{x}{2}) + 2$

Passaggio 3

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{2}) + 2$

Passaggio 4

Verifica se $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{2}) + 2$ è l'inverso di $f (x) = 2 e^{x - 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 4.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 4.2.2

Calcola $f^{- 1} (2 e^{x - 2})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2}) = \ln (\frac{2 e^{x - 2}}{2}) + 2$

Passaggio 4.2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (2 e^{x - 2}) = \ln (\frac{2 e^{x - 2}}{2}) + 2$

Passaggio 4.2.3.1.2

Dividi $e^{x - 2}$ per $1$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2}) = \ln (e^{x - 2}) + 2$

Passaggio 4.2.3.2

Usa le regole del logaritmo per togliere $x - 2$ dall'esponente.

$f^{- 1} (2 e^{x - 2}) = (x - 2) \ln (e) + 2$

Passaggio 4.2.3.3

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2}) = (x - 2) \cdot 1 + 2$

Passaggio 4.2.3.4

Moltiplica $x - 2$ per $1$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2}) = x - 2 + 2$

Passaggio 4.2.4

Combina i termini opposti in $x - 2 + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Somma $- 2$ e $2$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2}) = x + 0$

Passaggio 4.2.4.2

Somma $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2}) = x$

Passaggio 4.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 4.3.2

Calcola $f (\ln (\frac{x}{2}) + 2)$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\ln (\frac{x}{2}) + 2) = 2 e^{(\ln (\frac{x}{2}) + 2) - 2}$

Passaggio 4.3.3

Combina i termini opposti in $(\ln (\frac{x}{2}) + 2) - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Sottrai $2$ da $2$ .

$f (\ln (\frac{x}{2}) + 2) = 2 e^{\ln (\frac{x}{2}) + 0}$

Passaggio 4.3.3.2

Somma $\ln (\frac{x}{2})$ e $0$ .

$f (\ln (\frac{x}{2}) + 2) = 2 e^{\ln (\frac{x}{2})}$

Passaggio 4.3.4

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (\ln (\frac{x}{2}) + 2) = 2 (\frac{x}{2})$

Passaggio 4.3.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.1

Elimina il fattore comune.

$f (\ln (\frac{x}{2}) + 2) = 2 (\frac{x}{2})$

Passaggio 4.3.5.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\ln (\frac{x}{2}) + 2) = x$

Passaggio 4.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{2}) + 2$ è l'inverso di $f (x) = 2 e^{x - 2}$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{2}) + 2$