Precalcolo Esempi

$1 + \sin (θ) = 2 \cos^{2} (θ)$

Passaggio 1

Sottrai $2 \cos^{2} (θ)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$1 + \sin (θ) - 2 \cos^{2} (θ) = 0$

Passaggio 2

Sostituisci $- 2 \cos^{2} (θ)$ con $- 2 (1 - \sin^{2} (θ))$ in base all'identità $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$1 + \sin (θ) - 2 (1 - \sin^{2} (θ)) = 0$

Passaggio 3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$1 + \sin (θ) - 2 \cdot 1 - 2 (- \sin^{2} (θ)) = 0$

Passaggio 3.2

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$1 + \sin (θ) - 2 - 2 (- \sin^{2} (θ)) = 0$

Passaggio 3.3

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$1 + \sin (θ) - 2 + 2 \sin^{2} (θ) = 0$

Passaggio 4

Sottrai $2$ da $1$ .

$\sin (θ) - 1 + 2 \sin^{2} (θ) = 0$

Passaggio 5

Riordina il polinomio.

$2 \sin^{2} (θ) + \sin (θ) - 1 = 0$

Passaggio 6

Sostituisci $\sin (θ)$ per $u$ .

$2 {(u)}^{2} + u - 1 = 0$

Passaggio 7

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ e la cui somma è $b = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Moltiplica per $1$ .

$2 u^{2} + 1 u - 1 = 0$

Passaggio 7.1.2

Riscrivi $1$ come $- 1$ più $2$ .

$2 u^{2} + (- 1 + 2) u - 1 = 0$

Passaggio 7.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1 = 0$

Passaggio 7.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1 = 0$

Passaggio 7.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$u (2 u - 1) + 1 (2 u - 1) = 0$

Passaggio 7.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 u - 1$ .

$(2 u - 1) (u + 1) = 0$

Passaggio 8

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

Passaggio 9

Imposta $2 u - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Imposta $2 u - 1$ uguale a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Passaggio 9.2

Risolvi $2 u - 1 = 0$ per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 u = 1$

Passaggio 9.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 u = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 u = 1$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 9.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 9.2.2.2.1.2

Dividi $u$ per $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Passaggio 10

Imposta $u + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Imposta $u + 1$ uguale a $0$ .

$u + 1 = 0$

Passaggio 10.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$u = - 1$

Passaggio 11

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(2 u - 1) (u + 1) = 0$ vera.

$u = \frac{1}{2}, - 1$

Passaggio 12

Sostituisci $u$ per $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) = \frac{1}{2}, - 1$

Passaggio 13

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $θ$ .

$\sin (θ) = \frac{1}{2}$

$\sin (θ) = - 1$

Passaggio 14

Risolvi per $θ$ in $\sin (θ) = \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Trova il valore dell'incognita $θ$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$θ = \arcsin (\frac{1}{2})$

Passaggio 14.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (\frac{1}{2})$ è $\frac{π}{6}$ .

$θ = \frac{π}{6}$

Passaggio 14.3

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$θ = π - \frac{π}{6}$

Passaggio 14.4

Semplifica $π - \frac{π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$θ = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 14.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.2.1

$π$ e $\frac{6}{6}$ .

$θ = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 14.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$θ = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Passaggio 14.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.3.1

Sposta $6$ alla sinistra di $π$ .

$θ = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Passaggio 14.4.3.2

Sottrai $π$ da $6 π$ .

$θ = \frac{5 π}{6}$

Passaggio 14.5

Trova il periodo di $\sin (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 14.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 14.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 14.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 14.6

Il periodo della funzione $\sin (θ)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$θ = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 15

Risolvi per $θ$ in $\sin (θ) = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Trova il valore dell'incognita $θ$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$θ = \arcsin (- 1)$

Passaggio 15.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (- 1)$ è $- \frac{π}{2}$ .

$θ = - \frac{π}{2}$

Passaggio 15.3

La funzione del seno è positiva nel terzo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai la soluzione da $2 π$ per trovare un angolo di riferimento. Poi, somma l'angolo di riferimento a $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$θ = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Passaggio 15.4

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.1

Sottrai $2 π$ da $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$θ = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Passaggio 15.4.2

L'angolo risultante di $\frac{3 π}{2}$ è positivo, minore di $2 π$ e coterminale con $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 15.5

Trova il periodo di $\sin (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 15.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 15.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 15.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 15.6

Somma $2 π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.6.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{2}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Passaggio 15.6.2

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 15.6.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.6.3.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 15.6.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 15.6.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.6.4.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 15.6.4.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Passaggio 15.6.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$θ = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 15.7

Il periodo della funzione $\sin (θ)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$θ = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 16

Elenca tutte le soluzioni.

$θ = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 17

Consolida le risposte.

$θ = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$ , per qualsiasi intero $n$