Precalcolo Esempi

$\cos (2 x) - \sqrt{3} \cos (x) = - 1$

Passaggio 1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\cos (2 x) - \sqrt{3} \cos (x) + 1 = 0$

Passaggio 2

Semplifica il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Usa l'identità a doppio angolo per trasformare $\cos (2 x)$ in $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$2 \cos^{2} (x) - 1 - \sqrt{3} \cos (x) + 1 = 0$

Passaggio 2.2

Combina i termini opposti in $2 \cos^{2} (x) - 1 - \sqrt{3} \cos (x) + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Somma $- 1$ e $1$ .

$2 \cos^{2} (x) - \sqrt{3} \cos (x) + 0 = 0$

Passaggio 2.2.2

Somma $2 \cos^{2} (x) - \sqrt{3} \cos (x)$ e $0$ .

$2 \cos^{2} (x) - \sqrt{3} \cos (x) = 0$

Passaggio 3

Scomponi $\cos (x)$ da $2 \cos^{2} (x) - \sqrt{3} \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Scomponi $\cos (x)$ da $2 \cos^{2} (x)$ .

$\cos (x) (2 \cos (x)) - \sqrt{3} \cos (x) = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi $\cos (x)$ da $- \sqrt{3} \cos (x)$ .

$\cos (x) (2 \cos (x)) + \cos (x) (- \sqrt{3}) = 0$

Passaggio 3.3

Scomponi $\cos (x)$ da $\cos (x) (2 \cos (x)) + \cos (x) (- \sqrt{3})$ .

$\cos (x) (2 \cos (x) - \sqrt{3}) = 0$

Passaggio 4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\cos (x) = 0$

$2 \cos (x) - \sqrt{3} = 0$

Passaggio 5

Imposta $\cos (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.1

Imposta $\cos (x)$ uguale a $0$ .

$\cos (x) = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi $\cos (x) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (0)$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 5.2.3

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 5.2.4

Semplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 5.2.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.2.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 5.2.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 5.2.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.3.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 5.2.4.3.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 5.2.5

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 5.2.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 5.2.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 5.2.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 5.2.6

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 6

Imposta $2 \cos (x) - \sqrt{3}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 6.1

Imposta $2 \cos (x) - \sqrt{3}$ uguale a $0$ .

$2 \cos (x) - \sqrt{3} = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi $2 \cos (x) - \sqrt{3} = 0$ per $x$ .

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Passaggio 6.2.1

Somma $\sqrt{3}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 \cos (x) = \sqrt{3}$

Passaggio 6.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \cos (x) = \sqrt{3}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \cos (x) = \sqrt{3}$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 6.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 6.2.2.2.1.2

Dividi $\cos (x)$ per $1$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 6.2.3

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Passaggio 6.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.1

Il valore esatto di $\arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$ è $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Passaggio 6.2.5

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{6}$

Passaggio 6.2.6

Semplifica $2 π - \frac{π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.6.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 6.2.6.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.6.2.1

$2 π$ e $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 6.2.6.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Passaggio 6.2.6.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.6.3.1

Moltiplica $6$ per $2$ .

$x = \frac{12 π - π}{6}$

Passaggio 6.2.6.3.2

Sottrai $π$ da $12 π$ .

$x = \frac{11 π}{6}$

Passaggio 6.2.7

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 6.2.7.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 6.2.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 6.2.7.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 6.2.8

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $\cos (x) (2 \cos (x) - \sqrt{3}) = 0$ vera.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 8

Combina $\frac{π}{2} + 2 π n$ e $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ in $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$