Precalcolo Esempi

$\frac{x^{4} - 16 x^{2}}{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $\frac{x^{4} - 16 x^{2}}{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x}$ è indefinita.

$x = - 4, x = 0, x = 1$

Passaggio 2

Poiché $\frac{x^{4} - 16 x^{2}}{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x}$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $1$ da sinistra e $\frac{x^{4} - 16 x^{2}}{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x}$ $\to$ $- \infty$ con $x$ $\to$ $1$ da destra, allora $x = 1$ è un asintoto verticale.

$x = 1$

Passaggio 3

Considera la funzione razionale $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ dove $n$ è il grado del numeratore e $m$ è il grado del denominatore.

1. Se $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

2. Se $n = m$ , l'asintoto orizzontale è la linea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , non esiste alcun asintoto orizzontale (è presente un asintoto obliquo).

Passaggio 4

Trova $n$ e $m$ .

$n = 4$

$m = 3$

Passaggio 5

Poiché $n > m$ , non c'è nessun l'asintoto orizzontale.

Nessun asintoto orizzontale

Passaggio 6

Trova l'asintoto obliquo usando la divisione di polinomi.

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Passaggio 6.1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 6.1.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1.1.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{4} - 16 x^{2}$ .

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Passaggio 6.1.1.1.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{4}$ .

$\frac{x^{2} x^{2} - 16 x^{2}}{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x}$

Passaggio 6.1.1.1.2

Scomponi $x^{2}$ da $- 16 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 16}{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x}$

Passaggio 6.1.1.1.3

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 16$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 16)}{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x}$

Passaggio 6.1.1.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 4^{2})}{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x}$

Passaggio 6.1.1.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 4$ .

$\frac{x^{2} (x + 4) (x - 4)}{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x}$

Passaggio 6.1.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 6.1.2.1

Scomponi $x$ da $x^{3} + 3 x^{2} - 4 x$ .

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Passaggio 6.1.2.1.1

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$\frac{x^{2} (x + 4) (x - 4)}{x \cdot x^{2} + 3 x^{2} - 4 x}$

Passaggio 6.1.2.1.2

Scomponi $x$ da $3 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (x + 4) (x - 4)}{x \cdot x^{2} + x (3 x) - 4 x}$

Passaggio 6.1.2.1.3

Scomponi $x$ da $- 4 x$ .

$\frac{x^{2} (x + 4) (x - 4)}{x \cdot x^{2} + x (3 x) + x \cdot - 4}$

Passaggio 6.1.2.1.4

Scomponi $x$ da $x \cdot x^{2} + x (3 x)$ .

$\frac{x^{2} (x + 4) (x - 4)}{x (x^{2} + 3 x) + x \cdot - 4}$

Passaggio 6.1.2.1.5

Scomponi $x$ da $x (x^{2} + 3 x) + x \cdot - 4$ .

$\frac{x^{2} (x + 4) (x - 4)}{x (x^{2} + 3 x - 4)}$

Passaggio 6.1.2.2

Scomponi $x^{2} + 3 x - 4$ usando il metodo AC.

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Passaggio 6.1.2.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 4$ e la cui somma è $3$ .

$- 1, 4$

Passaggio 6.1.2.2.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$\frac{x^{2} (x + 4) (x - 4)}{x ((x - 1) (x + 4))}$

$\frac{x^{2} (x + 4) (x - 4)}{x (x - 1) (x + 4)}$

Passaggio 6.1.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

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Passaggio 6.1.3.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

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Passaggio 6.1.3.1.1

Scomponi $x$ da $x^{2} (x + 4) (x - 4)$ .

$\frac{x ((x (x + 4)) (x - 4))}{x (x - 1) (x + 4)}$

Passaggio 6.1.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 6.1.3.1.2.1

Scomponi $x$ da $x (x - 1) (x + 4)$ .

$\frac{x ((x (x + 4)) (x - 4))}{x ((x - 1) (x + 4))}$

Passaggio 6.1.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x ((x (x + 4)) (x - 4))}{x ((x - 1) (x + 4))}$

Passaggio 6.1.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(x (x + 4)) (x - 4)}{(x - 1) (x + 4)}$

Passaggio 6.1.3.2

Elimina il fattore comune di $x + 4$ .

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Passaggio 6.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (x + 4) (x - 4)}{(x - 1) (x + 4)}$

Passaggio 6.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(x) (x - 4)}{x - 1}$

$\frac{x (x - 4)}{x - 1}$

Passaggio 6.2

Espandi $x (x - 4)$ .

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Passaggio 6.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 4}{x - 1}$

Passaggio 6.2.2

Riordina $x$ e $- 4$ .

$\frac{x \cdot x - 4 x}{x - 1}$

Passaggio 6.2.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x \cdot x - 4 x}{x - 1}$

Passaggio 6.2.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x \cdot x - 4 x}{x - 1}$

Passaggio 6.2.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{1 + 1} - 4 x}{x - 1}$

Passaggio 6.2.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{x^{2} - 4 x}{x - 1}$

Passaggio 6.3

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$4 x$

$0$

Passaggio 6.4

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x$
	$x$	-	$1$		$x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$

Passaggio 6.5

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$x$

Passaggio 6.6

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{2} - x$

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$

Passaggio 6.7

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x$

Passaggio 6.8

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x$	+	$0$

Passaggio 6.9

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 3 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x$	-	$3$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x$	+	$0$

Passaggio 6.10

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x$	-	$3$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x$	+	$0$
					-	$3 x$	+	$3$

Passaggio 6.11

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 3 x + 3$

				$x$	-	$3$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x$	+	$0$
					+	$3 x$	-	$3$

Passaggio 6.12

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x$	-	$3$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x$	+	$0$
					+	$3 x$	-	$3$
							-	$3$

Passaggio 6.13

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$x - 3 - \frac{3}{x - 1}$

Passaggio 6.14

Dividi la soluzione in porzione polinomiale e resto.

$x - 3 + \frac{- 3 x^{2} - 12 x}{x^{3} + 3 x^{2} - 4 x}$

Passaggio 6.15

L'asintoto obliquo è la porzione polinomiale del risultato della divisione in colonna.

$y = x - 3$

Passaggio 7

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = 1$

Nessun asintoto orizzontale

Asintoti obliqui: $y = x - 3$

Passaggio 8