Precalcolo Esempi

$\frac{\sec (θ) + \tan (θ)}{\sec (θ) - \tan (θ)} = \frac{1 + 2 \sin (θ) + \sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$

Passaggio 1

Inizia dal lato destro.

$\frac{1 + 2 \sin (θ) + \sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$

Passaggio 2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 2.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} + 2 \sin (θ) + \sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$

Passaggio 2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 \sin (θ) = 2 \cdot 1 \cdot \sin (θ)$

Passaggio 2.3

Riscrivi il polinomio.

$\frac{1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot \sin (θ) + \sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$

Passaggio 2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = 1$ e $b = \sin (θ)$ .

$\frac{{(1 + \sin (θ))}^{2}}{\cos^{2} (θ)}$

Passaggio 3

Applica l'identità pitagorica al contrario.

$\frac{{(1 + \sin (θ))}^{2}}{1 - \sin^{2} (θ)}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 4.1.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{{(1 + \sin (θ))}^{2}}{1^{2} - {\sin (θ)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = \sin (θ)$ .

$\frac{{(1 + \sin (θ))}^{2}}{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}$

Passaggio 4.2

Elimina il fattore comune di ${(1 + \sin (θ))}^{2}$ e $1 + \sin (θ)$ .

$\frac{1 + \sin (θ)}{1 - \sin (θ)}$

Passaggio 5

Riscrivi $\frac{1 + \sin (θ)}{1 - \sin (θ)}$ come $\frac{\sec (θ) + \tan (θ)}{\sec (θ) - \tan (θ)}$ .

$\frac{\sec (θ) + \tan (θ)}{\sec (θ) - \tan (θ)}$

Passaggio 6

Poiché si è dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$\frac{\sec (θ) + \tan (θ)}{\sec (θ) - \tan (θ)} = \frac{1 + 2 \sin (θ) + \sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$ è un'identità