Precalcolo Esempi

$x^{4} > 4 x^{2}$

Passaggio 1

Sottrai $4 x^{2}$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$x^{4} - 4 x^{2} > 0$

Passaggio 2

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$x^{4} - 4 x^{2} = 0$

Passaggio 3

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{4} - 4 x^{2}$ .

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Passaggio 3.1.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{4}$ .

$x^{2} x^{2} - 4 x^{2} = 0$

Passaggio 3.1.2

Scomponi $x^{2}$ da $- 4 x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 4 = 0$

Passaggio 3.1.3

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 4$ .

$x^{2} (x^{2} - 4) = 0$

Passaggio 3.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x^{2} (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Passaggio 3.3

Scomponi.

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Passaggio 3.3.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$x^{2} ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Passaggio 3.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$x^{2} (x + 2) (x - 2) = 0$

Passaggio 4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Passaggio 5

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.1

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi $x^{2} = 0$ per $x$ .

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Passaggio 5.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Passaggio 5.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 5.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 5.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 6

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 6.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 6.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 7

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 7.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 7.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x^{2} (x + 2) (x - 2) = 0$ vera.

$x = 0, - 2, 2$

Passaggio 9

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

Passaggio 10

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 10.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 10.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 4$

Passaggio 10.1.2

Sostituisci $x$ con $- 4$ nella diseguaglianza originale.

${(- 4)}^{4} > 4 {(- 4)}^{2}$

Passaggio 10.1.3

Il lato sinistro di $256$ è maggiore del lato destro di $64$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 10.2

Testa un valore sull'intervallo $- 2 < x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 10.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 2 < x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 1$

Passaggio 10.2.2

Sostituisci $x$ con $- 1$ nella diseguaglianza originale.

${(- 1)}^{4} > 4 {(- 1)}^{2}$

Passaggio 10.2.3

Il lato sinistro di $1$ non è maggiore del lato destro di $4$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 10.3

Testa un valore sull'intervallo $0 < x < 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 10.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < x < 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 1$

Passaggio 10.3.2

Sostituisci $x$ con $1$ nella diseguaglianza originale.

${(1)}^{4} > 4 {(1)}^{2}$

Passaggio 10.3.3

Il lato sinistro di $1$ non è maggiore del lato destro di $4$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 10.4

Testa un valore sull'intervallo $x > 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 10.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 10.4.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

${(4)}^{4} > 4 {(4)}^{2}$

Passaggio 10.4.3

Il lato sinistro di $256$ è maggiore del lato destro di $64$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 10.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 2$ Vero

$- 2 < x < 0$ Falso

$0 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Vero

$x < - 2$ Vero

$- 2 < x < 0$ Falso

$0 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Vero

Passaggio 11

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x < - 2$ o $x > 2$

Passaggio 12

Converti la diseguaglianza in notazione a intervalli.

$(- \infty, - 2) \cup (2, \infty)$

Passaggio 13