Precalcolo Esempi

$\cos (45 °)$

Passaggio 1

Il valore esatto di $\cos (45 °)$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 2

Questa è la forma trigonometrica di un numero complesso dove $| z |$ è il modulo e $θ$ è l'angolo creato sul piano complesso.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Passaggio 3

Il modulo di un numero complesso è la distanza dall'origine sul piano complesso.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dove $z = a + b i$

Passaggio 4

Sostituisci i valori effettivi di $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$ e $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Passaggio 5

Trova $| z |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Passaggio 5.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Passaggio 5.2

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Passaggio 5.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Passaggio 5.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Passaggio 5.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Passaggio 5.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2}{2^{2}}}$

Passaggio 5.2.5

Calcola l'esponente.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2}{2^{2}}}$

Passaggio 5.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2}{4}}$

Passaggio 5.4

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2 (1)}{4}}$

Passaggio 5.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Passaggio 5.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Passaggio 5.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1}{2}}$

Passaggio 5.5

Somma $0$ e $\frac{1}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{2}}$

Passaggio 5.6

Riscrivi $\sqrt{\frac{1}{2}}$ come $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 5.7

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$| z | = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Passaggio 5.8

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$| z | = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 5.9

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 5.9.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 5.9.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 5.9.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 5.9.5

Somma $1$ e $1$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 5.9.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 5.9.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 5.9.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.9.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.9.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 5.9.6.5

Calcola l'esponente.

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 6

L'angolo definito dal punto sul piano complesso è l'inverso della tangente della parte complessa sulla parte reale.

$θ = \arctan (\frac{0}{\frac{\sqrt{2}}{2}})$

Passaggio 7

Poiché l'inverso della tangente di $\frac{0}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$ produce un angolo nel primo quadrante, il valore dell'angolo è $0$ .

$θ = 0$

Passaggio 8

Sostituisci i valori di $θ = 0$ e $| z | = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 (\cos (0) + i \sin (0))}$